Практические аспекты применения теоремы Котельникова.

Пусть сигнал s(t)представляет собой непрерывную функцию време­ни, действующую в интервале 0,Т (рис.1.1.). Разбив сигнал на сколь угодно короткие импульсы, можно трактовать его как совокупность неограниченно большого числа дискретных сигналов (импульсов), обладающих различными уровня­ми.

Рис.1.1.Представление непрерывного сигнала в виде дискретных сигналов

Рассматривая каждый уро­вень как определенное сообщение и учитывая, что как число уров­ней в одном импульсе, так и число импульсов может быть бесконечно большим, приходим к противоре­чащему здравому смыслу выводу, что в непрерывном сигнале ко­нечной длительности может со­держаться бесконечно большое ко­личество информации.

Ошибочность подобного рассуждения заключается в следующем.

Во-первых, бесполезно производить, отсчеты сигнала s(t) слишком часто, для каждого непрерывного сигнала имеется вполне определен­ный интервал между соседними «выборками», сокращение которого дополнительных сведений о сигнале. Иными словами, вся непрерывном сигнале информация может быть определена совокупностью выборок, взятых из сигнала в дискретные равностоящие моменты времени. Величина интервала Δt между соседними выборками зависит от наивысшей частоты в спектре сигнала: чем больше эта частота, тем меньше должен быть интервал. Если на­ивысшая частота в спектре меньше чем F_m, то интервал между выбор­ками не должен превышать величину 1/2F_m, Это важное положение основывается на теореме Котельникова («Теорема отсчетов»).

При полной длительности сигнала Тчисло выборок равно

N = T/ Δt + 1 = 2 F_mT + 1. (1.1.)

Так как обычно 2 F_mT >1,то

N ≈ 2F_mT. (1.2.)

Во-вторых, бесполезно пытаться измерить сколько угодно малое изменение величины выборки, так как помехи, всегда присутствующие в реальной системе, ограничивают точность измерения. Минимальное изменение сигнала, обнаружимое измерительным устройством, может быть в первом приближении приравнено уровню шумов (канала связи, самого измерителя). Таким образом, при эффективном напряжении помехи а (нормальный случайный процесс) и эффективном напряжении случайного сигнала и_{с эфф}, число различимых уровней смеси сигнал+ шум может быть представлено в виде отношения

(1.3.)

где Р_с = u²_сэфф — средняя мощность сигнала, а Р_п = σ²—средняя мощность помехи (при сопротивлении цепи 1 ом).

Процедура замены непрерывного сигнала совокупностью выборок может быть названа дискретизацией сигнала во времени. Разбиение же сигнала на дискретные уровни часто называют квантованием сиг­нала.

Итак, по своей информационной емкости непрерывный сигнал мо­жет быть приравнен к дискретной во времени последовательности вы­борок, каждая из которых может принимать одно из конечного числа дискретных значений.