Обозначение кристаллографических плоскостей и кристаллографических направлений

а – кристаллографические плоскости; б – кристаллографические направления

Для определения индексов кристаллографической плоскости необходимо:

· установить координаты точек пересечения плоскости с осями координат в единицах периода решетки;

· взять обратные значения этих величин;

· привести их к наименьшему целому кратному, каждому из полученных чисел.

Полученные значения простых целых чисел, не имеющие общего множителя, являются индексами Миллера для плоскости, указываются в круглых скобках. Примеры обозначения кристаллографических плоскостей на рисунке, позиция а.

Другими словами, индекс по оси показывает на сколько частей плоскость делит осевую единицу по данной оси. Плоскости, параллельные оси, имеют по ней индекс 0 (110).

Ориентация прямой определяется координатами двух точек. Для определения индексов кристаллографического направления необходимо:

· одну точку направления совместить с началом координат;

· установить координаты любой другой точки, лежащей на прямой, в единицах периода решетки;

· привести отношение этих координат к отношению трех наименьших целых чисел.

Индексы кристаллографических направлений указываются в квадратных скобках [111].

Под индексами плоскостей понимают величины, обратные длинам этих отрезков, приведенные к целым числам (и отнесенные к обратным значениям периодов решетки), то есть, индексы плоскости будут (n/h, n/k, n/l), где n подбирается так, чтобы сделать эти числа целыми с наибольшим общим делителем 1 (n --- наименьшее общее кратное). Их называют индексами Миллера плоскости и заключают в круглые скобки ((hkl) или (h₁, h₂, h₃)). Если плоскость не пересекает ось, соответствующий индекс равен 0. Плоскость с индексами (hkl) содержит все направления [m, n, p], индексы которых удовлетворяют условию

Очевидно, что плоскость (k, l, m) всегда содержит такие направления как [l, -k, 0], [0, m, -l ], [m, 0, -k].

10) Обратная решетка, ее свойства.

Обратная решётка — точечная трёхмерная решётка в абстрактном обратном пространстве, где расстояния имеют размерность обратной длины. Понятие обратной решётки удобно для описания дифракции рентгеновских лучей, нейтронов и электронов на кристалле. Обратная решётка (обратное пространство, импульсное пространство) является Фурье-образом прямой кристаллической решётки (прямого пространства).

Каждой кристаллической структуре соответствуют две решётки: кристаллическая решётка и обратная решётка. Можно определить векторы прямой и обратной решёток. Дифракционная картина представляет собой карту обратной решётки кристалла, так же как микроскопическое изображение представляет собой карту реальной структуры кристалла. Векторы кристаллической решётки имеют размерность длины, а размерность векторов обратной решётки [длина]^—1. Кристаллическая решётка — это решётка в обычном, реальном пространстве; обратная решётка — решётка в пространстве Фурье.

В кристаллографии обратная решётка состоит из множества векторов K, таких, что для всех векторов R, указывающих на положение узлов кристаллический решётки. Для бесконечной трёхмерной решётки, характеризующейся базисными векторами , её обратная решётка задаётся тройкой базисных векторов обратной решётки , связанных с базисными векторами прямой решетки соотношением:

и вычисленных по формулам:

Вышеупомянутое определение называют физическим определением, так как множитель 2π возникает естественно из исследования периодических структур. Эквивалентное кристаллографическое определение возникает, если вектора обратной решётки подчиняются следующему соотношению , которое изменяет формулы для нахождения векторов обратной решётки:

и аналогично для других векторов. Кристаллографическое определение выгодно тем, что определяет как обратную величину в направлении , без множителя 2π. Это может упростить определенные математические манипуляции и выражает взаимные измерения решетки в единицах пространственной частоты. Это вопрос удобства, какое определение векторов обратной решётки используется, конечно не смешивая их.

Кристаллографическое определение базиса в векторной алгебре называется взаимным базисом и используется для доказательства некоторых утверждений, связанных с углами между векторами и смешанным произведением.

Обратная решётка используется для определения индексов плоскости. Любой кристаллографической плоскости отвечает набор векторов обратной решетки, при этом коэффициенты разложения кратчайшего вектора по единичным векторам обратной решетки являются индексами плоскости.

11) Зона Бриллюэна.

Зона Бриллюэна — отображение ячейки Вигнера-Зейтца в обратном пространстве. В приближении волн Блоха волновая функция для периодического потенциала решётки твёрдого тела полностью описывается её поведением в первой зоне Бриллюэна.

Первая зона Бриллюэна (часто называемая просто зоной Бриллюэна) может быть построена как объём, ограниченный плоскостями, которые отстоят на равные расстояния от рассматриваемого узла обратной решётки до соседних узлов. Альтернативное определение следующее: зона Бриллюэна — множество точек в обратном пространстве, которых можно достигнуть из данного узла, не пересекая ни одной брэгговской плоскости.

Аналогичным образом можно получить вторую, третью и последующие зоны Бриллюэна. n-я зона Бриллюэна — это множество точек, которые можно достигнуть из данного узла, пересекая n-1 брэгговскую плоскость.