Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго

порядка (ЛНДУ)

Так называются уравнения вида

, (8.22)

где p(x), g(x), f(x) – заданные, непрерывные на (a,b) функции.

Соответствующее ему уравнение (с нулевой правой частью)

(8.23)

называется однородным уравнением.

Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ). Общее решение уравнения (8.22) представляется суммой общего решения соответствующего ему однородного уравнения (8.23) и частного решения неоднородного уравнения (8.22)

. (8.24)

Доказательство. Так как - общее решение однородного уравнения (8.23), а - частное решение неоднородного уравнения (8.22), то и .

В таком случае

+ ( .

А это означает, что функция является решением уравнения (8.22). Теперь необходимо показать, что функция

(8.25)

является общим решением уравнения (8.22). Убедимся, что из решения (8.25)

можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

, (8.26)

Подставляем данные условия в решение (8.25), получим систему уравнений

,

относительно неизвестных с₁ и с₂.

Определителем этой системы

равен значению вронскиана в точке х = х₀ . Но так как и являются линейно независимыми на (a,b) , то . А это означает, что система (8.16) имеет единственное решение: , .

Решение является единственным частным решением уравнения (8.22), удовлетворяющим начальным условиям (8.26). Теорема доказана.