Линейные однородные ДУ второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка:

(8.12)

и установим некоторые свойства решений этого уравнения.

Теорема.Если функции и являются решениями уравнения (8.12), то решением этого уравнения является также линейная комбинация этих функций

, (8.13)

где с₁ и с₂ - произвольнее постоянные.

Доказательство. Подставим функцию (8.13) и её производные в левую часть (8.12). Получим

( (

(

.

Таким образом, функция является также является ре-шением уравнения (8.12).

Итак, функция вида у = с произвольными постоянными с₁ и с₂ является решением уравнения (8.12). Докажем в последствии, что (8.13) при некоторых условиях является общим решением (8.12). Для этого рассмотрим понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.

Функции и называется линейно зависимыми на (a,b), если существуют такие числа с₁ и с₂, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для любого имеет место равенство

. (8.14)

Очевидно, что если функции и линейно зависимы, то они пропорциональны. Действительно, если , причём

и , то . Верно и обратное.

Функции и называется линейно независимыми на (a,b), если не существует таких чисел с₁ и с₂, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для любого имеет место равенство (8.14).

Другими словами, равенство (8.14) выполняется сразу для всех , если только с₁ = с₂ = 0.

Очевидно, что если функции и линейно независимы, то их отношение , т.е. они не пропорциональны.

Так, например, функции и линейно независимы на любом интервале , поскольку , а функции и линейно зависимы на любом интервале , так как .

Признак линейной зависимости системы функций связан с так назы-ваемым определителем Вронского или вронскианом. Для двух дифферен-цируемых функций и вронскиан имеет следующий вид

W(x) = .

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 1. Если дифференцируемые функции и линейно зависимы на (a,b), то определитель Вронского на этом интервале равен нулю.

Доказательство. Так как функций и линейно зависимы, то они пропорциональны = α и = α , тогда определитель Вронского

= = 0.

Теорема 2.Для того, чтобы две дифференцируемые функций и были бы линейно независимы на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского на этом сегменте был бы отличен от нуля.

.

Теорема(о структуре общего решения ЛОДУ второго порядка) Если два решения и ЛОДУ линейно независимы, то их линейная комбинация

у =

является общим решением этого уравнения.

Доказательство. Так как и являются решениями уравнения (8.12), то их линейная комбинация у = также – решение этого уравнения. Остаётся доказать, что это решение общее, т.е., что из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

, (8.15)

Подставляем данные условия в решение , получим систему уравнений

, (8.16)

относительно неизвестных с₁ и с₂.

Определитель этой системы

равен значению вронскиана в точке х = х₀ . Но так как и являются линейно независимыми на [a,b] , то согласно теореме 2, . А это означает, что система (8.16) имеет единственное решение:

, .

Решение является единственным частным решением уравнения (8.12), удовлетворяющим начальным условиям (8.15). Теорема доказана.