![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Линейные уравненияДифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:
при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однороднымдифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднороднымдифференциальным уравнением. P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b. Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)¹0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.
Метод Бернулли. Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций При этом очевидно, что Подставляя
Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению. Выберем функцию u так, чтобы выполнялось условие Таким образом, можно получить функцию u, проинтегрировав, полученное дифференциальное уравнение: Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное вы-ражение для функции u в исходное уравнение Интегрируя, можем найти функцию v:
Т.е. была получена вторая составляющая произведения Подставляя полученные значения, получаем: Метод Лагранжа Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной. Ищется решение линейного дифференциального уравнения первого порядка: Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем. Далее находится решение получившегося однородного дифференци-ального уравнения:
Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х. Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:
|