Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальным уравнением первого порядканазывается соотноше-ние, связывающее функцию, ее первую производную и независимую пере-менную, т.е. соотношение вида:

. (8.1)

Если такое соотношение можно преобразовать к виду

(8.2)

то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, разрешенным относительно производной.

Преобразуем такое выражение далее:

Функцию f(x,y) представим в виде: тогда при подстановке в полученное выше уравнение имеем:

, (8.3)

- это так называемая дифференциальная формауравнения первого порядка.

Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения.

Интегрирование дифференциального уравнения в общем случае приводит к бесконечному множеству решений, которые отличаются друг от друга постоянной величиной. Например, решениями уравнения являются функции , , и вообще , с – const. Последнее выражение есть общее решение исходного дифференциального уравнения. Таким образом, чтобы решение дифференциального уравнения было вполне определённым, необходимо, чтобы это решение удовлетворяло условиям однозначности. Условие того, что при искомая функция (решение дифференциального уравнения) должна быть равна заданному числу называется начальным условием. Начальное условие для дифференциального уравнения первого порядка записывается в виде

или . (8.4)

Задача, состоящая в определении решения дифференциального уравнения первого порядка (8.1) и удовлетворяющего заданному начальному условию (8.4), называется задачей Коши.

Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

. (8.5)

Такое уравнение можно представить также в виде:

или

если

Перейдем к новым обозначениям

Получаем: или

После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.

Примеры. 1. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Разделим переменные

или , тогда

Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям

и - это и есть

общий интеграл исходного дифференциального уравнения. Чтобы проверить правильность полученного результата продифференцируем его по переменной х.

или , что подтверждает верность решения.

2. Найти решение дифференциального уравнения при условии у(2) = 1 (задача Коши).

Имеем , или откуда

и

при у(2) = 1 получаем

Итого: или - частное решение;

Проверка: , итого

.

3. Решить уравнение

Имеем , , или

. Общее решение имеет вид .

4. Решить уравнение

Имеем

5. Решить уравнение при условии у(1) = 0 (задача Коши).

Имеем ,

Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям

.

.

Если у(1) = 0, то

Таким образом, решение задачи Коши есть .

6. Решить уравнение .

. Упростим данное уравнение

или

Проводя интегрирование, получаем общий интеграл:

.

7. Решить уравнение

Преобразуем заданное уравнение: ,

или ,

Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.