Однородные уравнение первого порядка

Дифференциальное уравнение вида называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если функция f(x,y) может быть представлена в виде

. (8.6)

В этом случае вводится новая переменная или , откуда и исходное дифференциальное уравнение преобразуется к виду

Таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и, найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение .

Введем вспомогательную функцию u.

.

Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее .

Подставляем в исходное уравнение:

Разделяем переменные:

Интегрируя, получаем:

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение: