Уравнения, допускающие понижение порядка

Для некоторых функций уравнение второго порядка (8.10) с помощью подходящей замены переменной может быть сведено к уравнению первого порядка.

1.⁰ Если правая часть уравнения содержит только независимую пере-менную, то есть уравнение имеет вид .

а) Проще всего, решение такого уравнения найти двукратным его интегрированием, а именно, имеем ,разделяя переменные, получаем ,или , откуда и последующее интегрирование даёт .

В результате искомое решение имеет вид .

Примеры.

1) Найти общее решение уравнения

, , , , ,

, , откуда .

2) Найти общее решение уравнения

, ,

б). Иначе, исходное дифференциальное уравнение формально может быть сведено к уравнению первого порядка с помощью замены переменной .

2.⁰ Следующий случай, когда дифференциальное уравнение второго порядка (8.10) сводится к уравнению первого порядка, связан с тем, что правая часть уравнения содержит только независимую переменную x и производную искомой функции , то есть уравнение (8.10.) имеет вид . Сведение данного уравнения к уравнению первого порядка достигается с помощью замены переменной . А именно, имеем или , пусть - общее решение предыдущего уравнения, тогда искомое решение исходного уравнения определяется из решения уравнения первого порядка .

Примеры.

1). Найти общее решение уравнения .

Запишем исходное уравнение в виде . Обозначим , тогда или, разделяя переменные, находим откуда и , т.е. . И, наконец, так как , то и .

2). Найти общее решение уравнения .

Обозначим . Тогда и для функции р(x) получим уравнение первого порядка . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получим

, или .

Отсюда и . Последний интеграл вычислим по частям, полагая u = lnx, dv = dx. Тогда du =1/x dx, v = x и

3.⁰ Рассмотрим ещё один случай, когда дифференциальное уравнение (8.10) допускает снижение порядка. Пусть правая часть уравнения (8.10) не содержит независимой переменной х. Т.е. имеет вид . Вводится замена переменной , тогда по правилу дифференцирования сложной функции

Пример. Найти общее решение уравнения

Замена переменной:

Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену переменной: тогда

.

С учетом того, что , получаем:

Общий интеграл имеет вид:

2)

Таким образом, получили два общих решения.