КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Метод вариации произвольных постоянныхРассмотрим ЛНДУ (8.22). Его общее решение представляется суммой общего решения у0 однородного уравнения (8.23) и частного решения неоднородного уравнения (8.22). Если известно общее решение у0 однородного уравнения, то частное решение можно найти методом вариации произвольных постоянных, сущность которого заключается в следующем. Пусть - общее решение однородного уравнения. Заменим в этом выражении постоянные с1 и с2 неизвестными функциями с1(х) и с2(х) так, чтобы было бы решением уравнения (8.22). Найдём производную . Подберём функции с1(х) и с2(х) так, чтобы . Тогда , . Подставляя выражения , и в уравнение (8.22), получим + + р(х)[ ] + q(x) [ ] = f(x), bли с1(х)∙[ ] + + с2(х)∙[ ] + / Так как и - решения уравнения (8.23), то выражения в квадратных скобках равны нулю, то . (8.27) Таким образом, функция будет частным решением уравнения (8.22), если функции с1(х) и с2(х) удовлетворяют системе , (8.28) Определитель этой системы – вронскиан , так как функции и линейно независимы. Поэтому система (8.28) имеет единственное решение: и . Интегрируя эти функции, находим с1(х) и с2(х), в результате выражение является частным решением неоднородного уравнения (8.22).
|