Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим ЛНДУ (8.22). Его общее решение представляется суммой общего решения у₀ однородного уравнения (8.23) и частного решения неоднородного уравнения (8.22). Если известно общее решение у₀ однородного уравнения, то частное решение можно найти методом вариации произвольных постоянных, сущность которого заключается в следующем. Пусть - общее решение однородного уравнения. Заменим в этом выражении постоянные с₁ и с₂ неизвестными функциями с₁(х) и с₂(х) так, чтобы было бы решением уравнения (8.22). Найдём производную

.

Подберём функции с₁(х) и с₂(х) так, чтобы

.

Тогда ,

.

Подставляя выражения , и в уравнение (8.22), получим

+

+ р(х)[ ] + q(x) [ ] = f(x),

bли с₁(х)∙[ ] +

+ с₂(х)∙[ ] + /

Так как и - решения уравнения (8.23), то выражения в квадратных скобках равны нулю, то

. (8.27)

Таким образом, функция будет частным решением уравнения (8.22), если функции с₁(х) и с₂(х) удовлетворяют системе

, (8.28)

Определитель этой системы – вронскиан , так как функции и линейно независимы. Поэтому система (8.28) имеет единственное решение: и . Интегрируя эти функции, находим с₁(х) и с₂(х), в результате выражение является частным решением неоднородного уравнения (8.22).