![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентамиРассмотрим дифференциальное уравнение
где p и g постоянные величины, а f(x) – заданная функция. Согласно теореме о структуре общего решения ЛНДУ оно представляется суммой общего решения у0 соответствующего однородного уравнения и частного решения Что касается определения частного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами, то оно может быть определено с помощью метода вариации произвольных постоянных, описанного в предыдущем разделе. Однако если в правой части уравнения (8.29) - многочлен, либо показательная функция, либо тригонометрическая функция sinβx или cos βx, либо линейная комбинация перечисленных функций, то частное решение может быть найдено методом неопределённых коэффициентов, не содержащим процедуру интегрирования. Общий подход здесь таков: частное решение неоднородного уравнения, как правило, ищется в том же виде, какова его правая часть (то есть, функция f(x)). Однако, за этим “как правило” кроются многочисленные исключения. Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (8.29) 1. Если правая часть уравнения есть многочлен степени n f(x)=Pn(x) ) и x = 0 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение так же следует искать в виде многочлена степени n 2. Если правая часть уравнения имеет вид 3. Если правая часть уравнения имеет вид 4. Если правая часть уравнения есть сумма, или произведение функций, рассмотренных выше, то частное решение следует искать в виде суммы, или произведения, соответствующих частных решений. Пример 1. Решить задачу Коши Решение. Сначала найдем общее решение однородного уравнения
-2 А + А x + B = х + 1 или Ax + (-2 A + B) = x + 1. Последнее равенство должно выполняться при всех значениях х, что возможно лишь в том случае, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях х в его левой и правой частях. Приравнивая соответствующие коэффициенты, получим систему линейных уравнений для определения величин А и В Отсюда А = 1, В = 3 и, значит, частным решением неоднородного уравнения является функция y(x) = y0(x) + Теперь подберем константы c1 и c2 так, чтобы эта функция удовлетворяла заданным начальным условиям. Поскольку y(0) = 2, Отсюда c1 = -1 и c2 = -3. Значит, решением задачи является функция
Пример 2. Найти общее решение уравнения Решение. Корни характеристического уравнения
и подставим эти производные и саму функцию в исходное уравнение
Последнее равенство возможно лишь в том случае, когда A = 5/2. Таким образом, частным решением уравнения является функция Пример 3. Найти общее решение уравнения Решение. Корни характеристического уравнения Так как число 2i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения будем искать в виде
и подставим их вместе с функцией в исходное уравнение
Последнее равенство возможно лишь в том случае, когда A = 1 и B = 0. Значит, частным решением уравнения является функция y(x) = y0(x) + Пример 4. Найти общее решение уравнения Решение. Здесь характеристическое уравнение
Приравнивая коэффициенты при cosx и sinx, находим
откуда A=3/10, B = 3/5. Таким образом, частное и общее решения соответственно: и y(x) =
|