![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Коефіцієнтами
Лінійне диференціальне рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами має вигляд
де р, q – деякі дійсні числа, Якщо
називається однорідним; в протилежному випадку при Для знаходження розв’язку рівняння (1) розглянемо спочатку розв’язок відповідного однорідного рівняння (2). Для знаходження загального розв’язку рівняння (2) доцільно діяти наступним чином: 1) Скласти характеристичне рівняння шляхом заміни
2) Розв’язати характеристичне рівняння, використовуючи формулу
3) Проаналізувати корені характеристичного рівняння, які можуть бути: а) дійсними та різними, тобто б) дійсними та рівними, тобто в) комплексно спряженими, тобто
4. В залежності від значень коренів характеристичного рівняння записати загальний розв’язок заданого диференціального рівняння (2). У випадку а): У випадку б): У випадку в): Приклад. Знайти загальний розв’язок рівнянь: а) Розв’язання. Для рівняння а) характеристичне рівняння має вигляд Знайдемо корені цього рівняння:
Корені характеристичного рівняння дійсні та різні, тому загальний розв’язок диференціального рівняння а) буде
Для рівняння б) характеристичне рівняння має вигляд
Отже корені характеристичного рівняння дійсні та рівні, тому загальний розв’язок диференціального рівняння б) буде
У випадку диференціального рівняння в) характеристичне рівняння має вигляд
Таким чином, корені цього рівняння комплексно спряжені, причому
Приклад. Знайти частинний розв’язок рівняння
Розв’язання. Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:
Оскільки корені дійсні і різні, то загальний розв’язок має вигляд
Для знаходження частинного розв’язку знайдемо похідну
Таким чином, для знаходження сталих маємо систему рівнянь: Тоді частинний розв’язок буде мати вигляд
Перейдемо до розв’язання лінійного неоднорідного рівняння (1). Теорема.Загальний розв’язоклінійного неоднорідного рівняння дорівнює сумі загального розв’язку відповідного однорідного рівняння та деякого частинного розв’язку неоднорідного. Нехай
Тоді їх лінійна комбінація
де Частинний розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати методом варіації сталих, а саме, будемо вважати, що
де Знайдемо першу похідну від розв’язку (6)
Покладемо
(це буде перше рівняння для знаходження невідомих функцій
Підставимо (6), (7) (за умови (8)) та (9) у неоднорідне рівняння (1): Приймаючи до уваги тотожності (5), дістанемо друге рівняння для знаходження невідомих функцій
тобто отримаємо систему
З отриманої системи знаходимо: звідки
Підставивши (12) в (6) дістанемо загальний розв’язок неоднорідного рівняння у вигляді
Приклад. Розв’язати рівняння Розв’язання. 1. Розв’яжемо спочатку відповідне однорідне рівняння:
2. Розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати у вигляді
де
Підставивши знайдені
|