Коефіцієнтами

Лінійне диференціальне рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами має вигляд

, (1)

де р, q – деякі дійсні числа, – деяка задана функція.

Якщо , то рівняння

(2)

називається однорідним; в протилежному випадку при рівняння (1) називається неоднорідним.

Для знаходження розв’язку рівняння (1) розглянемо спочатку розв’язок відповідного однорідного рівняння (2).

Для знаходження загального розв’язку рівняння (2) доцільно діяти наступним чином:

1) Скласти характеристичне рівняння шляхом заміни на k², на k і у на 1, тобто одержати алгебраїчне рівняння відносно k вигляду

. (3)

2) Розв’язати характеристичне рівняння, використовуючи формулу

. (4)

3) Проаналізувати корені характеристичного рівняння, які можуть бути:

а) дійсними та різними, тобто ;

б) дійсними та рівними, тобто ;

в) комплексно спряженими, тобто

, де ; .

4. В залежності від значень коренів характеристичного рівняння записати загальний розв’язок заданого диференціального рівняння (2).

У випадку а): .

У випадку б): .

У випадку в): .

Приклад. Знайти загальний розв’язок рівнянь:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання. Для рівняння а) характеристичне рівняння має вигляд .

Знайдемо корені цього рівняння:

.

Корені характеристичного рівняння дійсні та різні, тому загальний розв’язок диференціального рівняння а) буде

.

Для рівняння б) характеристичне рівняння має вигляд

, корені якого .

Отже корені характеристичного рівняння дійсні та рівні, тому загальний розв’язок диференціального рівняння б) буде

.

У випадку диференціального рівняння в) характеристичне рівняння має вигляд

, а його корені будуть

.

Таким чином, корені цього рівняння комплексно спряжені, причому , . Тому загальний розв’язок диференціального рівняння в) буде

.

Приклад. Знайти частинний розв’язок рівняння

; ; .

Розв’язання. Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені:

; .

Оскільки корені дійсні і різні, то загальний розв’язок має вигляд

.

Для знаходження частинного розв’язку знайдемо похідну і складемо систему алгебраїчних рівнянь для знаходження значень сталих:

;

або ;

або .

Таким чином, для знаходження сталих маємо систему рівнянь:

Тоді частинний розв’язок буде мати вигляд

.

Перейдемо до розв’язання лінійного неоднорідного рівняння (1).

Теорема.Загальний розв’язоклінійного неоднорідного рівняння дорівнює сумі загального розв’язку відповідного однорідного рівняння та деякого частинного розв’язку неоднорідного.

Нехай – лінійно незалежні розв’язки лінійного однорідного рівняння, тобто:

та . (5)

Тоді їх лінійна комбінація

,

де та - довільні сталі, є загальним розв’язком лінійного однорідного рівняння.

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати методом варіації сталих, а саме, будемо вважати, що

, (6)

де та є функціями незалежної змінної, які можуть бути знайдені наступним чином.

Знайдемо першу похідну від розв’язку (6)

. (7)

Покладемо

(8)

(це буде перше рівняння для знаходження невідомих функцій та ) і знайдемо другу похідну

. (9)

Підставимо (6), (7) (за умови (8)) та (9) у неоднорідне рівняння (1):

Приймаючи до уваги тотожності (5), дістанемо друге рівняння для знаходження невідомих функцій та

, (10)

тобто отримаємо систему

(11)

З отриманої системи знаходимо:

звідки

(12)

Підставивши (12) в (6) дістанемо загальний розв’язок неоднорідного рівняння у вигляді

. (13)

Приклад. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. 1. Розв’яжемо спочатку відповідне однорідне рівняння:

.

2. Розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати у вигляді

, (14)

де знайдемо із системи рівнянь

.

.

.

Підставивши знайдені у (14), дістанемо загальний розв’язок:

.