Матричний метод

Нехай маємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

.

Якщо ввести позначення

, , ,

то згідно з правилом множення матриць та умовою рівності матриць, одержимо запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь у матричній формі

АХ=В. (6)

Якщо матриця А квадратна порядку n і її визначник Δ(А) не дорівнює нулю, тоді існує обернена до А матриця А^-1, тому можна рівність (6) помножити на А^-1 зліва. Одержимо

А^-1AX= А^-1B. (7)

За означенням оберненої матриці маємо:

А^-1А = Е,

тому (7) набуде вигляду:

EX= А^-1B.

Але множення матриці-стовпця Х на матрицю Е не змінює X, тобтоЕХ=Х. Таким чином, одержуємо формулу:

X= А^-1B, (8)

за якою і знаходять розв'язок системи(4) матричним методом. Отже, матричний метод можна застосовувати у випадку, коли квадратна матриця А має не рівний нулю визначник.

Для розв'язування неоднорідної системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими матричним методом доцільно здійснювати такий порядок дій:

1) записати основну матрицю системи А і знайти її визначник Δ(А). Якщо Δ(А) = 0, то система розв'язку не має або має безліч розв’язків у залежності від вигляду матриці В;

2) якщо Δ(А) ¹ 0, тоді знайти обернену матрицю А^-1 до матриці А;

3) помножити обернену матрицю А^-1 на матрицю-стовпець вільних членів системи В. Одержаний при цьому стовпець згідно з формулою(8) і буде розв'язком системи, причому єдиним.

Приклад 3. Знайти розв'язок заданої системи матричним методом

Розв'язування. Основною матрицею заданої системи буде матриця

.

Визначник цієї матриці

.

Для запису оберненої матриці А^-1 знайдемо алгебраїчні доповнення елементів матриці А:

Отже,

.

Тепер за формулою (8) знаходимо розв'язок заданої системи:

.

Вправи до розділу 5.2

N — номер варіанта

1. За правилом Крамера розв'язати системи рівнянь:

a) b)

c) d) .

2. Розв'язати системи матричним методом

a) b)

c) d) .