Таке рівняння можна звести до вигляду

. (1)

Якщо функція , то рівняння називається лінійним неоднорідним.

Рівняння вигляду

(2)

називається лінійним однорідним, що відповідає лінійному неоднорідному рівнянню (1).

Загальний розв’язок рівняння (1) будемо шукати методом варіації сталої, суть якого полягає в наступному.

Розглядаємо відповідне однорідне рівняння (2), в якому спочатку відокремлюємо змінні, а потім інтегруємо:

.

З останнього рівняння знаходимо, що

. (3)

Розв’язок (3) називається загальним розв’язком лінійного однорідного рівняння (2).

Загальний розв’язком лінійного неоднорідного рівняння (1) будемо шукати у вигляді

, (4)

де – деяка невідома функція, яку ми повинні визначити так, щоб розв’язок (4) задовольняв рівняння (1). З (4) знайдемо як похідну від добутку функцій

і підставимо у і у рівняння (1). В результаті підстановки та спрощення, дістанемо

, , звідки

.

Інтегруючи одержане рівняння знаходимо шукану функцію у вигляді

, (5)

де – довільна стала.

Підставивши (5) в формулу (4) дістанемо загальний розв’язок неоднорідного рівняння у вигляді

. (6)

Легко бачити, загальний розв’язок неоднорідного рівняння складається з двох частин: загального розв’язок відповідного однорідного рівняння

і частинного розв’язку неоднорідного рівняння

,

тобто

. (7)

Приклад. Розв’язати рівняння

.

Розв’язання. Розділивши ліву і праву частини на х, приходимо до лінійного неоднорідного рівняння:

.

Відповідне однорідне рівняння має вигляд

.

Відокремимо змінні і проінтегруємо:

.

Звідси знаходимо загальний розв’язок однорідного рівняння .

Розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати у вигляді

. (8)

Підставивши знайдений розв’язок у неоднорідне рівняння, дістанемо

,

звідки після спрощення прийдемо до рівняння вигляду

,

загальний розв’язок якого має вигляд

.

Підставивши знайдене у формулу (8) дістанемо загальний розв’язок неоднорідного рівняння у вигляді

.