Логарифмічна похідна

Означення. Логарифмічною похідною додатної функції називається похідна . Оскільки , то згідно правила диференціювання складної функції одержимо наступне співвідношення для логарифмічної похідної: .

Якщо похідну розглядати як швидкість зміни функції у, то величину природно вважати її відносною швидкістю зміни або її темпом росту.

Застосування логарифмічної похідної. Нехай – наближена величина внеску в момент часу t. Чи можна визначити (наближено) ставку банківського відсотку r за допомогою функції К(t)? Якщо відсотки нараховуються один раз за період часу ∆t, то відсотки за вказаний період будуть дорівнювати (ми вважаємо, що r номінальна ставка за рік, ∆t – частка року). Оскільки приріст внеску і відсотки від внеску – теж саме, то . Звідси

.

Нехай функція має похідну . Тоді приріст функції можемо (наближено) замінити на диференціал , в результаті чого одержимо

.

Висновок: ставка банківського відсотка r співпадає з логарифмічною похідною від величини внеску.

Приклад. Нехай , де t – число років від відкриття внеску, К₀ – величина внеску в початковий момент часу t=0. Тоді ми можемо визначити, як змінювалась ставка відсотку . Дійсно

або у відсотках .

Так, через два роки після відкриття внеску ставка була річних, через 5 років ставка зменшилась до 25% річних і т.д. Відмітимо, що абсолютна швидкість росту внеску при цьому не спадала, а зростала, оскільки .

Завдання для самостійної роботи

1.Знайти похідні першого порядку заданих функцій:

1. ,	2. ,	3. ,
4. ,	5. ,	6. ,
7. ,	8. ,	9. ,
10. ,	,	11. ,
12. ,	,	13. ,
14. ,	15. ,	16. ,
17. ,	18. ,	19. ,
20. ,	21. ,	22. ,
23. ,	24. ,	25.

2. Знайти похідні першого порядку функцій, заданих неявно та параметрично:

1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7.

8. , 9. , 10. , 11. , 12. , 13. , 14. .

3. Який кут утворює з віссю абсцис дотична парабола , яка проведена в точці М(2;3)? Записати рівняння цієї дотичної.

4. Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої в точці М(1;-1)

5. Скласти рівняння дотичної до гіперболи , проведеної в точці М(-9;-8).

6. Знайти похідні другого порядку:

а) , б) , в) , г) , д) ,

е) , ж) , з) .

7. Знайти похідні третього порядку: а) , б) .

8. Обчислити наближені значення:

а) , б) , в) , г) .