І відокремлюваними змінними

Якщо диференціальне рівняння має вигляд

, (3)

то кажуть, що в цьому диференціальному рівнянні змінні відокремлені, бо при є функція тільки від х, а при dy – функція тільки від y. Такого вигляду рівняння називають рівнянням з відокремленими змінними.

Такі рівняння розв’язуються дуже легко. Справді, інтегруючи почленно ліву та праву частину, одержимо

.

Це є загальний інтеграл рівняння у вигляді неявної функції.

Диференціальне рівняння вигляду

(4)

називають рівнянням із змінними, що відокремлюються. Якщо виконується умова , то його легко звести до попереднього випадку, поділивши обидві частини на добуток . В результаті такої дії одержимо рівняння вигляду

,

у якого змінні відокремлені.

Приклади

1. Розв’язати рівняння .

Це рівняння можна записати у вигляді , яке після відокремлення змінних набуде вигляду

.

Інтегруючи, одержимо

,

звідки позбувшись логарифма, дістанемо загальний розв’язок у вигляді

.

2. Розв’язати рівняння .

Це рівняння після того, як поділити його на , набуде вигляду

.

В цьому рівнянні змінні вже відокремлені, безпосереднім інтегруванням дістанемо

,

або інакше

.

Вправи

Розв’язати рівняння

1.

2.