Похідні основних елементарних функцій

Похідна логарифмічної функції.Якщо , то .

Доведення. Нехай х довільна точка із (0,∞). Візьмемо приріст аргументу і знайдемо приріст функції

.

Тому

.

Звідси, за допомогою граничного переходу, використовуючи другу чудову границю, одержимо

,

де , .

Наслідок. При , маємо: .

2. Похідна показникової функції.Функція є оберненою до функції . Тоді, згідно правила диференціювання оберненої функції, знаходимо

Оскільки , то одержимо формулу .

Зокрема, для , маємо .

3. Похідна степеневої функції.Функція при x>0 може бути представлена у вигляді . Використовуючи правила диференціювання показникової та складної функцій, одержимо

.

Якщо x<0, то функцію можна представити інакше:

.

Тоді

.

Нехай . Вираз визначений тільки, коли . В цьому випадку

.

Таким чином приходимо до висновку: похідна степеневої функції може бути знайдена за формулою

для будь-яких α і x, для яких має зміст права частина цієї формули.

Приклад. Знайти похідну функції . Використавши формулу для похідної степеневої функції, дістанемо:

4. Похідні тригонометричних функцій.Для знаходження похідної від функції скористаємося формулою , першою чудовою границею і неперервністю функції :

Скориставшись тригонометричною тотожністю і правилом диференціювання складної функції, одержимо

Для знаходження похідної функції скористаємося формулою похідної частки двох функцій

.

Аналогічно

5. Похідні обернених тригонометричних функцій.Функція є оберненою для функції . Скориставшись формулою похідної від оберненої функції, одержимо:

Аналогічно функція є оберненою для функції . Тому

Функція є оберненою для функції . Тому

Аналогічно функція є оберненою для функції . Тому

6. Диференціювання функцій, заданих неявно.Якщо функціональну залежність між у та х задано неявно, тобто рівністю , тоді для знаходження похідної по х функції у треба продиференціювати тотожність , враховуючи, що у залежить від х, а потім розв’язати рівняння, яке одержали, відносно :

, .

Приклад.Знайти похідну функції у, яка задана рівнянням і обчислити її значення в точці (2;1).

Розв’язання. Диференціюючи обидві частини рівняння і враховуючи, що у залежить від х, одержимо , звідки .

Значення похідної при буде дорівнювати .

7. Диференціювання функцій, заданих параметрично.Нехай залежність у від х задана параметрично у вигляді

,

де t – параметр.

Якщо t одержить приріст Δ t, то х та у також одержать прирости, відповідно: , , причому при та . Тому

.

Таким чином, яка задана параметрично, знаходять за формулою

.

На закінчення основні правила та формули для знаходження похідних подамо у вигляді таблиці.

Таблиця правил та формули обчислення похідних

№ п/п	Функція у	Похідна	№ п/п	Функція у	Похідна	№ п/п	Функція у	Похідна
	с
	x
	cu
	u ± v
	u∙v