Зв’язок між неперервністю та диференційованістю функцій

Теорема.Якщо функція диференційована в деякій точці , то вона в цій точці неперервна.

Доведення. Якщо функція диференційована в деякій точці , то згідно з означенням похідної при існує

.

В силу того, що границя змінної величини відрізняється від самої змінної на нескінченно малу величину , то маємо:

. (7)

Оскільки – постійна, то з властивостей нескінченно малих величин випливає, що обидва доданки в правій частині є нескінченно малі величини. Із (7) випливає, що . Тобто функція неперервна.

Наслідок. З наведеної теореми випливає, що неперервність функції є лише необхідною умовою диференційованості функції. Це означає, що в точках розриву функція не має похідних, тобто вона недиференційована.

Неперервна функція може бути недиференційована.

Наприклад, функція неперервна в точці (Рис. 3.), але не має похідної в цій точці тому, що:

, .

Тобто границя залежить від способу прямування (Рис. 4).