Основні означення

Розділ 14. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Багато задач природознавства, техніки і механіки, хімії, біології, медицини і інших галузей знань зводяться до того, що за заданими влас­­тивостями процесів або явищ необхідно знайти математичну мо­дель самого процесу у вигляді формули, яка зв’язує змінні величини, тобто у вигляді функціональної залежності.

При вивченні таких задач використовуються диференціальні рівняння. В даному розділі будемо розглядати звичайні диференціальні.

Надалі замість “звичайні диференціальні рівняння” будемо вжива­ти “диференціальні рівняння”.

Основні означення

Означення.Диференціальним називається рівняння, що містить незалежну змінну, невідому функцію та їх похідні або диференціали різних порядків.

Невідому функцію, як правило, позначають через y(x) або просто y, а її похідні – і т.д. Можливі і інші позначення, наприклад: x(t)–невідома функція, – її похідні, t –незалежна змінна.

Приклади диференціальних рівнянь:

.

Загальний вигляд диференціального рівняння визначається співвідношенням

. (1)

Означення.Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної або диференціалу, що входять в диференці­альне рівняння.

Наприклад, – диференціальне рівняння першого по­рядку, а – диференціальне рівняння другого порядку.

Означення.Розв’язком або інтегралом диференціального рів­нян­ня називається така функція, яка після підстановки в диференціальне рівняння перетворює його в тотожність.

Наприклад, функція

,

де C – довільна стала, є розв’язком диференціального рівняння

.

Дійсно, знайшовши похідну і підставивши її в диференціальне рівняння дістанемо тотожність .

Аналогічно можна показати, що функція є розв’язком рівняння .

При відшуканні розв’язку диференціального рівняння використовують операцію інтегрування, що зв’язано з появою сталої інтегрування. Якщо дія інтегрування застосовується n раз, то, очевидно, і розв’язок буде містити n довільних сталих.

Нехай нам задано диференціальне рівняння . Запишемо його у вигляді або . Інтегруючи ліву і праву частини рівності, дістанемо . Після повторного інтегрування одержимо , де і – сталі інтегрування (довільні сталі).

Означення.Функція вигляду

, (2)

яка є розв’язком диференціального рівняння (1) і залежить від n істотно різних сталих називається загальним розв’язком цього рів­няння.

Означення.Розв’язок, який утворюється із загального розв’язку при окре­мому значенні сталих , називають окремим або частинним розв’яз­ком.

Приклад.Загальним розв’язком рівняння

є функція , де С – довільна постійна величина. Нехай С=2, тоді буде частинним розв’язком.

Неважко переконатись, що цьому ж рівнянню задовольняє і інша функція , яку не можна одержати з загального розв’язку при жодному значенні постійної С.

Означення.Розв’язок, який не дістається із загального розв’яз­ку ні при яких значеннях сталих , називають особли­вим розв’яз­ком.

У багатьох випадках для того, щоб із безлічі розв’язків одержати певний частинний розв’язок, необхідно задати так звані початкові умови. Початкові умови для рівняння першого порядку мають такий вигляд:

при або .

Задача відшукання частинного розв’язку, що задовольняє деяким заданим початковим умовам, називається задачею Коші.

У загальному випаду задачі Коші для диференціальних рівнянь першого і другого порядків мають вигляд:

. .

Тут – задані числа, які називаються початковими умовами.