економіці

Розглянемо деякі (найпростіші) задачі макроекономічної діяльності.

1. Ріст при постійному темпі приросту. Нехай – кількість і ціна продукції, випущеної в деякій галузі за час t. Галузь на момент часу t отримала дохід . Нехай величина інвестицій, тобто засобів, направлених на розширення виробництва. Нехай m – норма інвестицій (m = const, 0<m<1), тоді

. (1)

Припустимо, що ринок не насичений, тобто весь товар буде продано. У результаті розширення виробництва галузь отримає додатковий дохід, частина якого буде використана для подальшого розширення виробництва. Цей процес приведе до збільшення швидкості випуску (акселерації) пропорційно до збільшення інвестицій, тобто

, (2)

де – норма акселерації. Підставляючи в (1) значення із формули (2), отримаємо

, де . (3)

Відокремлюючи змінні у рівнянні (3), отримаємо

.

Якщо , то , звідки . Тоді

. (4)

З диференціальним рівнянням типу (3) часто зустрічаються в інших прикладних задачах, зокрема, ним описуються динаміка росту цін при постійному темпі інфляції, ріст народонаселення (демографічний процес), процес радіоактивного розпаду, розмноження бактерій тощо.

2. Модель росту в умовах конкуренції. Нехай – спадна функція , тобто зі збільшенням випуску буде відбуватися насичення ринку і ціна буде падати.

Провівши аналогічні міркування, як і в попередньому випадку, ми отримаємо рівняння

, де . (5)

Рівняння (5) є рівняння зі змінними, що відокремлюються. Оскільки , то з (5) випливає, що y – зростаюча функція ( ). Дослідимо y(t) на випуклість. Диференціюючи рівняння (5) по змінній t, отримаємо

або ,

тобто

, (6)

де – еластичність попиту. Із (6) випливає, що у випадку друга похідна і графік функції опуклий вниз, а якщо , то і графік функції випуклий вверх.

Нехай, для прикладу, , тоді

. (7)

Розв’яжемо рівняння (7). Для цього відокремимо змінні

.

Розв’язавши останню рівність відносно змінної y, дістанемо

. (*)

Легко бачити, що функція (8) має горизонтальну асимптоту . При t=0, . Точку перегину можемо знайти з умови . Розв’язавши відносно , дістанемо .

Дану криву називають логістичною. Подібні криві описують процес розповсюдження інформації (реклами), поширення епідемії, процес розмноження бактерій в обмеженому середовищі тощо.

Як приклад знайдемо вираз для обсягу продукції , якщо відомо, що крива попиту , норма акселерації , норма інвестицій . Оскільки в цьому випадку , то , , звідки . Так як , то .