розрахункових таблиць

В економічних дослідженнях дуже часто необхідно розв'язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь з багатьма невідомими і метод Гаусса для них не дуже зручний тому, що після приведення матриці системи до трикутного вигляду треба ще провести певну кількість розрахунків, щоб одержати усі невідомі.

Метод Гаусса буде більш досконалим, якщо при елементарних перетвореннях можна одержати рівними нулю не тільки елементи, що лежать нижче головної діагоналі, а й ті елементи, що лежать вище головної діагоналі. Саме цього вдається досягти методом Гаусса-Жордана, яким треба обов'язково оволодіти і вміти застосовувати з використанням розрахункових таблиць.

Перетворення Гаусса-Жордана дозволяють розв'язувати довільні системи лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходити ранг матриці та обернену матрицю.

При розв'язуванні довільних систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса-Жордана треба послідовно зробити декілька кроків перетворення Гаусса-Жордана з певним правилом переходу від однієї таблиці до іншої.

Кроком перетворення Гаусса-Жордана називають елементарні перетворення (множення рівнянь на число, алгебраїчна сума різних рівнянь), за допомогою яких задана система зводиться до еквівалентної системи.

Алгоритм перетворення Гаусса-Жордана:

1) вибираємо розв'язувальний елемент а_ij¹0;

2) елементи і-го рядка (його називають розв'язувальним) ділимо на а_ij і запишемо в і-й рядок розрахункової таблиці;

3) у розв'язувальному j стовпці замість а_ij пишуть одиницю, а замість інших елементів цього стовпця пишуть нулі;

4) усі інші елементи розрахункової таблиці, в тому числі і контрольного стовпця, знаходять за формулою

, (9)

де k=l,2,... ,m; l=l,2,...,n; k¹i, k¹l.

Обчислення елементів за формулою (9) доцільно виконувати з використанням схеми прямокутника

Приклад 1. Користуючись алгоритмом Гаусса-Жордана розв’язати систему

Розв’язання. Запишемо задану систему у вигляді розрахункової таблиці 1.

Таблиця 1 Таблиця 2

		-1,25 0,5 -3 5,75 -3,5 0,5 -14
	-5 -12 -2 -2 -8

Таблиця 3 Таблиця 4

	-1,25 0,5 -3 -0,608696 3,826087 5,304348 -15,913043
		-1,25 0,5 -3 -0,608696 3,826087 -3

З табл. 4 знаходимо:

; ;