Общие свойства направляемых волн

Уравнения Гельмгольца для направляемых волн. Формулы связи поперечных и продольных компонент

При отсутствии сторонних источников векторы поля и направляемой волны должны удовлетворять однородным уравнениям Гельмгольца

Рис. 1.2.

Разложим векторы поля в (1.3) на продольную и поперечную составляющие:

.

Подставляя (1.3) в систему (1.2), получаем, что поперечные составляющие полей направляемых волн связаны с продольными соотношениями

Методика определения полей направляемых волн обычно сводится к следующему:

а) записывается однородное уравнение Гельмгольца вида (1.5) для продольной составляющей и ищется его решение методом разделения переменных;

б) на найденное в п. а) решение накладывают граничные условия на стенках волновода, определяют постоянные интегрирования и получают решение для продольной составляющей в окончательном виде;

в) пользуясь формулами связи (1.7), определяют поперечные составляющие напряженностей электрического и магнитного полей.

Критическая длина волны и длина волны в волноводе

Согласно рис 1.2 волновое число направляемой волны связано с его продольной и поперечной составляющими соотношением

.

Отсюда продольное волновое число (постоянная распространения) равно

,

Очевидно, что возможны три случая:

1) , т.е. величина вещественна, что соответствует распространяющейся вдоль волновода волне;

2) , когда - чисто мнимая величина, и направляемая волна экспоненциально затухает в направлении своего распространения;

3) критический случай , когда .

Величина называется критической длиной волны. Критическая длина волны для данного типа колебаний зависит от формы поперечного сечения волновода и его размеров, а также от диэлектрической и магнитной проницаемостей заполняющей волновод среды.

Расписывая в (1.9) , , , где - длина волны в безграничной среде, находим, что длина волны в волноводе связана с критической длиной волны соотношением

.

Таким образом, длина волны в волноводе всегда больше длины волны той же частоты в свободном пространстве. Поскольку фазовая скорость волны равна , где - частота, то фазовая скорость в волноводе больше фазовой скорости волны в безграничной среде.

При , а при (1.10) даёт мнимое значение , т.е. волны, более длинные, чем , в виде колебания данного типа по волноводу распространяться не могут. Область частот, для которой , называется областью отсечки для данного типа колебаний.

Фазовая и групповая скорости направляемых волн

Знание критической длины волны позволяет определить фазовую скорость данного типа колебаний в волноводе

,

где частота , - скорость света в свободном пространстве, – критическая частота волны данного типа.

Групповая скорость

Из (1.11) и (1.12) видно, что и между фазовой и групповой скоростями в волноводе существует соотношение .

Фазовая скорость в волноводе является функцией частоты электромагнитного колебания. Такое явление получило название дисперсии. Дисперсия становится наиболее существенной, когда длина волны, на которой возбуждается волновод, близка к критической. При . При достаточно большой ширине спектра сигнала наличие дисперсии приводит к нелинейным искажениям сигналов, передаваемых по волноводу.