Линии передачи с ТЕМ-волнами. Коаксиальная линия передачи

Общие свойства ТЕМ-волн в линиях передачи

Выявим условия существования в линии передачи поперечной электромагнитной волны. Уравнения связи (1.7) продольных и поперечных компонент поля при , могут выполняться только в случае равенства нулю поперечного волнового числа (соответственно, ). Это означает, что ТЕМ-волна распространяется вдоль волновода, не испытывая отражений от его стенок. Кроме того, поперечная волна будет существовать только в том случае, если её поле будет удовлетворять граничным условиям для данной направляющей системы. Например, для волновода с идеально проводящими стенками это условие состоит в том, что всюду на поверхности стенок.

Условие означает, что , , т.е. линия передачи с ТЕМ-волной пропускает без ограничений колебания всех частот. При этом, согласно (1.10), длина волны, распространяющейся в линии передачи ( - длина однородной плоской волны в свободном пространстве). Отметим также, что импеданс ТЕМ-волны совпадает с импедансом однородной плоской волны в свободном пространстве.

Уравнение Гельмгольца (1.5) для вектора при принимает вид

Это – известное уравнение Лапласа, являющееся основным уравнением электростатики. В самом деле, оно получается из уравнения Гельмгольца общего вида (1.1) при , т.е. , а также из уравнений Максвелла для электростатических полей

.

Поэтому можно утверждать, что поле ТЕМ-волны в поперечном сечении линии передачи совпадает с электростатическим полем конденсатора с обкладками соответствующей формы. Электростатический характер электрического поля позволяет ввести понятие разности потенциалов между проводниками линии:

,

где - произвольный контур в поперечном сечении линии.

ТЕМ-волна в коаксиальной линии передачи

Из направляющих систем с ТЕМ-волнами широко используется коаксиальная линия передачи, представляющая собой систему двух соосных металлических цилиндров с радиусами и ( ) (рис. 1.10а). Будем считать, что пространство между цилиндрами заполнено немагнитным ( ) диэлектриком без потерь с диэлектрической проницаемостью . Металлические поверхности будем считать идеально проводящими.

Данную систему целесообразно рассматривать в цилиндрической системе координат . Распределение поля в поперечном сечении линии должно повторять структуру электростатического поля в цилиндрическом конденсаторе. Поэтому поле имеет только одну, радиальную составляющую , не зависящую от полярной координаты . Это обстоятельство обеспечивает выполнение граничного условия на металлических поверхностях.

Применим уравнение Максвелла , расписав дивергенцию в цилиндрической системе координат с учётом :

.

Из (1.56) следует, что

,

где - постоянная. Для её нахождения используем (1.55):

,

откуда . Домножая комплексную амплитуду на фазовый множитель, получаем окончательное выражение электрического поля бегущей ТЕМ-волны:

.

Расчёт магнитного поля можно провести, например, с помощью первого уравнения из (1.2). Распределение магнитного поля в пространстве между цилиндрами совпадает с магнитным полем постоянного тока. Поэтому вектор имеет единственную составляющую , а его силовые линии представляют собой концентрические окружности (см. рис. 1.10б).

Рис. 1.10.

Волновое сопротивление коаксиальной линии

Проведём расчёт мощности, переносимой ТЕМ-волной вдоль коаксиальной линии:

.

Разобьём площадь поперечного сечения линии на элементы в виде тонких колец площадью и перейдём в (1.60) к интегралу по в пределах от до . В итоге получаем:

,

где введено обозначение

.

(при этом (1.61) принимает вид формулы мощности в цепи переменного тока, выделяемой на активном сопротивлении при подаче на него напряжения ). Величина называется волновым сопротивлением коаксиальной линии передач (для волны ТЕМ-типа).

Волновое сопротивление является одним из важнейших параметров линий передачи и определяется как отношение комплексных напряжения и силы тока в линии (в режиме бегущей волны). Не следует путать два понятия: волновое сопротивление линии передачи (зависящее от типа волны, распространяющейся в линии) и импеданс направляемой этой линией волны. Последняя величина также иногда называется волновым сопротивлением, но определяется иначе как отношение амплитуд электрического и магнитного полей волны.

На стыке двух различных линий передачи (как вариант – линии передачи и нагрузки) должно выполняться условие согласования, которое заключается в равенстве волновых сопротивлений двух соединяемых участков:

.

Только при выполнении условия (1.63) отсутствует отражение мощности от места стыка и мощность целиком может быть передана из одной линии в нагрузку или другую линию. Условие (1.63) является приближённым, так как оно не учитывает возможность изменения структуры поля на стыке за счёт возбуждения колебаний высших типов.

Для обеспечения согласования номинальные значения волновых сопротивлений используемых в технике коаксиальных кабелей стандартизированы. Стандартными являются значения = 50 Ом и 75 Ом.

Затухание в коаксиальной линии

Приведём без вывода формулу для постоянной затухания коаксиальной линии передач с ТЕМ-волной, которая получается из общего выражения (1.48):

,

где – поверхностное сопротивление металлических обкладок.

Величина

принимает минимальное значение при =3,6, что является оптимальным с точки зрения потерь в металле. При стремлении отношения к 1 потери растут за счёт уменьшения области пространства, в котором переносится электромагнитная энергия. При при >3,6 потери возрастают ввиду увеличения плотности тока вследствие уменьшения радиуса внутреннего проводника.

Волновое сопротивление (1.62) коаксиальной линии с =3,6, равно 50 Ом при заполнении диэлектриком с (полиэтилен) и 77 Ом для воздуха. Поэтому стандартные коаксиальные кабели имеют волновые сопротивления 50 и 75 Ом.

Как следует из частотной зависимости поверхностного сопротивления , потери в коаксиальной линии возрастают с ростом частоты. Кроме того, коаксиальная линия обычно заполняется твёрдым диэлектриком, потери в котором в диапазоне СВЧ могут быть более существенными, чем в металле стенок. Коаксиальные кабели в основном используются для передачи небольших мощностей на частотах до 10 ГГц. На более высоких частотах становятся существенными потери в металле (по сравнению с металлическими волноводами с воздушным заполнением). Кроме того, поперечные размеры волновода становятся сравнимыми с длиной волны, и в кабеле, помимо основной ТЕМ-волны могут распространяться волны высших типов (Е- и Н-волны).

1.8. Объёмные резонаторы

Собственные колебания полых металлических резонаторов

Резонатором называется устройство, в котором происходит накопление энергии колебаний. В условиях резонанса, т.е. вблизи некоторых частот (длин волн), называемых собственными, количество запасаемой энергии резко возрастает. Простейший резонатор, который широко применяется в радиотехнике – параллельный -колебательный контур, в котором запасённая электромагнитная энергия периодически переходит из электрической в магнитную и обратно. Для построения колебательных систем диапазона СВЧ нужно увеличить резонансную частоту контура, которая (без учёта потерь) равна

.

Таким образом, нужно уменьшить индуктивность и ёмкость . Ёмкость можно уменьшить, раздвигая пластины конденсатора, а индуктивность – уменьшая число витков катушки до одного витка. Дальнейшее уменьшение возможно подключением дополнительных витков параллельно последнему витку, т.е. заменой витка сплошной металлической поверхностью. Для уменьшения утечки электромагнитной энергии в окружающее пространство эту поверхность целесообразно сделать замкнутой. В результате приходим к объёмному резонатору, представляющему собой замкнутый объём, ограниченный металлическими стенками (см. рис. 1.11).

Рис. 1.11.

В качестве объёмных резонаторов в технике СВЧ обычно используются отрезки полых металлических волноводов (прямоугольных, круглых, коаксиальных) с закрытыми торцами. На рис. 1.12 изображён прямоугольный резонатор в виде отрезка прямоугольного волновода длиной . Пусть в таком волноводе распространяется вдоль оси волна частоты . Если стенки волновода и перегородки, закрывающие торцы - идеально проводящие, то на торце волна испытает полное отражение и будет интерферировать с первоначальной волной. Этот процесс повторяется многократно. В случае резонанса результатом интерференции встречных волн должна быть стоячая волна. Она образуется, если на длине волновода укладывается целое число полуволн, т.е. если длина волны равна

,

где - положительное целое число. Условие (1.67) определяет бесконечное множество резонансных (собственных) длин волн резонатора.

Рис. 1.12.

Используя формулу (1.10), нетрудно найти собственные длины волн в свободном пространстве:

.

Из (1.68) следует, что собственная длина волны (частота) резонатора определяется типом волны в отрезке волновода и числом полуволн , укладывающихся на его длине . Например, для нормальных Е и Н-волн прямоугольного резонатора с размерами сечения собственные длины волн равны

.

(см. формулу (1.24)). Каждому набору чисел в (1.69) отвечает своя собственная длина волны , собственная частота , а также своё распределение поля в объёме резонатора. Соответственно, виды колебаний (моды) резонатора обозначаются или . При этом разделение колебаний на два вида (Е и Н) условно, так как в резонаторе все три основных направления равноправны. Если несколько видов колебаний имеют совпадающие собственные частоты, то такие колебания называются вырожденными. Для прямоугольных резонаторов вырожденными являются колебания, у которых ни один из индексов не равен нулю.

Для собственных колебаний прямоугольного резонатора только один из трёх индексов может быть равен нулю. При этом для Н-колебаний не может быть равен нулю индекс . При составляющие поля не будут зависеть от , и граничные условия на торцевых стенках могут выполняться, только если поле тождественно равно нулю. (Напомним, что граничные условия для идеально проводящих поверхностей требуют равенства нулю тангенциальной составляющей электрического поля).

Колебания основного типа с наибольшей собственной длиной волны соответствуют наименьшим возможным значениям . Если , то основным будет колебание или .

Добротность объёмных резонаторов

Добротность – одна из наиболее общих характеристик любой колебательной системы. Она пропорциональна числу колебаний, которые система успевает совершить за характерное время переходного процесса (время релаксации). Добротность определяется соотношением:

,

где - средняя за период энергия, запасённая в резонаторе, - средняя энергия потерь, вычисленная за тот период, в который найдена , - средняя за период мощность потерь, - период колебаний без учёта потерь, - резонансная частота. Мощность потерь складывается из мощности потерь в стенках резонатора и в среде, его заполняющей, а также мощности излучения, отводимой из резонатора в другие элементы СВЧ-цепи (в «нагрузку» резонатора). Добротность объёмных резонаторов диапазона СВЧ достигает нескольких сотен или тысяч.

Энергия, запасённая в резонаторе, пропорциональна его объёму . Величина пропорциональна объёму скин-слоя стенок, в котором происходят потери, т.е. произведению площади стенок на толщину скин-слоя . В итоге

.

Для колебаний основного типа , , , поэтому . С уменьшением длины волны добротность уменьшается, поэтому при переходе к миллиметровым волнам объёмные резонаторы оказываются неэффективными. В миллиметровом, субмиллиметровом и оптическом диапазоне используют открытые резонаторы, размер которых намного превышает длину волны.