Неоднородные волновые уравнения в потенциалах и их решение в виде запаздывающих потенциалов

Под излучением электромагнитных волн понимают процесс переноса энергии электромагнитного поля от источника в окружающее пространство. При изучении распространения электромагнитных волн в безграничной среде или в направляющей структуре поле волны обычно рассматривается вне связи с его источниками. Точнее, полагается, что источники достаточно удалены от области, в которой находится поле волны. При этом решаются так называемые однородные задачи электродинамики, приводящие к однородным волновым уравнениям (см. [2], п. 1.5).

В настоящей главе будут рассмотрены простейшие задачи теории излучения. В них требуется связать поле электромагнитной волны с его источниками (зарядами и токами). Для этого в правых частях уравнений (II) и (III) системы уравнений Максвелла

следует задать функции плотности тока и объёмной плотности заряда , характеризующие излучающую систему зарядов и токов. В технике излучение электромагнитных волн обеспечивается специальными устройствами – антеннами. Источником излучения обычно является сторонний электрический ток, возбуждаемый в антенне подключением генератора. Величина этого тока в задачах на излучение считается заданной.

Задачи нахождения электромагнитных полей , из системы (2.1) по заданным источникам и/или относятся к неоднородным задачам электродинамики, поскольку данная система сводится к неоднородным волновым уравнениям с отличной от нуля правой частью. Для упрощения их решения вводят вспомогательные функции, которые принято называть электродинамическими потенциалами. Их определяют по-разному, в зависимости от особенностей задачи. Широко используются в электродинамике векторный потенциал и скалярный потенциал , связанные с векторами поля , соотношениями

,

.

Соотношения (2.2) и (2.3) позволяют вычислить напряжённости и по известным потенциалам и . При решении уравнений Максвелла (2.1) определению подлежат шесть скалярных функций (составляющие векторов и ). Переход к потенциалам , позволяет уменьшить число неизвестных функций до четырёх.

При решении волновых задач на функции , накладывают дополнительное условие, называемое условием калибровки Лоренца:

,

где - скорость электромагнитной волны в среде с материальными параметрами и . При подстановке выражений (2.2), (2.3) с учётом условия калибровки (2.4) в систему (2.1), получаются уравнения, которым подчиняются потенциалы и :

,

.

Уравнения (2.5) и (2.6) для потенциалов, называемые уравнениями Даламбера имеют вид неоднородных волновых уравнений. Векторный потенциал зависит только от распределения в пространстве токов проводимости, а скалярный потенциал - от распределения зарядов.

Исследовать электромагнитное излучение – значит, найти ту часть переменного электромагнитного поля, которое можно обнаружить на достаточно большом расстоянии от излучателя (антенны) – локализованной в ограниченной области пространства системы зарядов и токов. Рассмотрим такую систему, занимающую объём и поставим задачу определить электромагнитное поле в некоторой фиксированной точке пространства М, не принадлежащей объёму . Требование «большого расстояния» от излучателя даёт условие , где - модуль радиус-вектора точки М, отсчитываемый от начала О, выбранного внутри объёма , а - наибольший линейный размер излучающей системы (рис. 2.1 ).

Рис. 2.1.

Найдём общий вид векторного потенциала в точке М, для чего построим общее решение уравнения (2.5). Если в объёме протекают постоянные токи, то уравнение Даламбера (2.5) переходит в уравнение магнитостатики (уравнение Пуассона):

.

Его общее решение

соответствует принципу суперпозиции: потенциал в точке М является суммой потенциалов, создаваемых каждым элементарным объёмом , на которые разбивается объём . Эта сумма записана в (2.8) как интеграл по объёму , где - радиус-вектор элементарного объёма относительно начала О, а - расстояние объёма до «точки наблюдения» М (см. рис. 2.1).

С другой стороны известно, что одним из решений однородного волнового уравнения вида

является сферическая волна

.

При знаке «−» в (2.10) волна разбегается по всем направлениям из начала координат , а при знаке «+» сходится к этой точке. Можно предположить, что решение неоднородного волнового уравнения должно быть суперпозицией сферических волн вида (2.10), излучаемых каждой точкой объёма . Строгое математическое рассмотрение подтверждает эти соображения. В итоге получаем, что общее решение (2.5) является обобщением (2.8) на случай переменных токов:

Строго говоря, (2.11) описывает два решения, что отражено наличием двух знаков. Однако в нашей задаче физический смысл имеет только одно из них, содержащее в аргументе функции знак «−». В этом случае для вычисления потенциала в точке М в момент времени берётся значение плотности тока в элементе в более ранний момент . Это связано с конечностью скорости распространения электромагнитной волны: возбуждаемым элементом колебаниям поля требуется время , чтобы пройти расстояние . Потенциал (2.11) в случае знака «−» называют «запаздывающим потенциалом». В случае знака «+» («опережающий потенциал») потенциалы в точке наблюдения возникают раньше, чем порождающие их токи. Это – нарушение причинно-следственной связи, поэтому такое решение должно быть отброшено.

Аналогичный вид имеет решение уравнения (2.6) для потенциала :

.

Допустим теперь, что плотность тока излучателя изменяется во времени по гармоническому закону с частотой :

.

По такому же закону будут изменяться и потенциалы , поля, порождаемого данным током. Уравнения Даламбера для потенциалов переходят в этом случае в уравнения Гельмгольца:

где - волновое число (постоянная распространения). Решение этих уравнений (в виде запаздывающего потенциала) является суперпозицией сферических монохроматических волн:

,

.

Далее в этом разделе будут рассматриваться только гармонические излучатели монохроматических волн.