Затухание волн в полых металлических волноводах

Общие выражения для постоянной затухания

Реальные волноводы изготавливаются из материалов, имеющих конечную величину проводимости. Поэтому токи проводимости, протекающие по стенкам волновода, частично преобразуют энергию электромагнитного поля в тепловую энергию, и по мере движения по волноводу энергия поля уменьшается (затухает). При этом одновременно уменьшаются амплитуды всех составляющих поля. При наличии затухания постоянная распространения становится комплексной величиной:

где сохраняет смысл продольного волнового числа, а мнимая часть представляет собой постоянную затухания, определяющую длину волновода, при прохождении которого амплитуды полей уменьшаются в е раз. Тогда поля направляемых волн в зависимости от координаты изменяются следующим образом:

Таким образом, распространяющаяся волноводная мода с оказывается затухающей; если же , то при и наряду с большим затуханием существует малый поток энергии вдоль оси волновода. Соответственно, при сильном затухании теряет смысл понятие критической длины волны:

Некоторый вклад в величину постоянной затухания дают потери в диэлектрике, заполняющем волновод. На практике волновод обычно заполнен воздухом, т.е. диэлектриком с очень малым уровнем потерь. Тогда потери в диэлектрике можно не принимать во внимание.

Мощность , переносимая по волноводу, пропорциональна квадрату амплитуды поперечной составляющей поля направляемой волны. При затухании поля изменяются вдоль оси по закону (1.39), поэтому для мощности как функции имеем:

,

где - мощность в сечении . Величина потерь мощности на единицу длины волновода равна

,

откуда коэффициент затухания

.

Если потери связаны только с конечной проводимостью стенок, то убыль мощности можно считать равной мощности, входящей в боковые стенки волновода единичной длины площадью :

(мощность вычисляется как поверхностный интеграл от интенсивности, т.е. среднего вектора Пойнтинга, вклад в него дают только касательные к стенке составляющие полей ).

Мощность вычисляется как интеграл от интенсивности по поперечному сечению волновода :

.

С учётом (1.43), (1.44) выражение (1.42) для принимает вид:

.

Формула (1.45) является точным и наиболее общим выражением для постоянной затухания. Однако нахождение полей направляемых волн с учётом конечной проводимости стенок является весьма сложной и трудоёмкой задачей. Поэтому расчёты по формуле (1.45) обычно проводят приближённым методом, основанным на двух предположениях.

1. Структура поля в волноводе такая же, как и для волновода с идеально проводящими стенками.

2. Тангенциальные составляющие полей на хорошо проводящих стенках волновода взаимно ортогональны и связаны граничным условием Леонтовича (см. [2], п. 5.3)

,

где - комплексный поверхностный импеданс металла:

( - удельная проводимость).

Согласно сделанным предположениям, при вычислении мощности по (1.44) используются поля, полученные в задаче для волновода с идеально проводящими стенками. Составляющая на стенке волновода также полагается такой же, как и для волновода без потерь, а определяется согласно граничному условию Леонтовича (1.46). С учётом ортогональности векторов и формула (1.45) принимает вид

.

Частотные зависимости постоянных затухания

Приведём без вывода общие формулы, отражающие частотную зависимость постоянной затухания Е- и Н-волн в полых металлических волноводах, следующие из (1.48) [3]:

,

где - константы, а буквой обозначена безразмерная величина . Частотная зависимость постоянных затухания примерно одинакова для всех нормальных волн металлических волноводов (см. рис. 1.9). При ( ) величина бесконечно возрастает (этот результат является следствием приближённого расчёта). С увеличением частоты сначала уменьшается до некоторого минимального значения, а затем возрастает примерно пропорционально . Этот рост связан с увеличением поверхностного сопротивления . С ростом индексов потери возрастают для волн как Н, так и Е-типа. Исключение составляют моды круглого волновода: для них и неограниченно убывает с ростом частоты.

Рис. 1.9.

Расчёт постоянной затухания волны основного типа прямоугольного волновода

В качестве примера применим формулу (1.48) к расчёту постоянной затухания волны типа в прямоугольном волноводе. Используя формулы (1.30) для проекций поля волны , в числителе (1.48) будем иметь

Знаменатель в (1.48) был рассчитан в п. 1.5 (см. формулу (1.35)). Учитывая формулы (1.31) и (1.10) для импеданса и длины волны , получаем приближённое теоретическое выражение для постоянной затухания волны основного типа прямоугольного волновода:

где – поверхностное сопротивление стенки волновода, – импеданс среды, заполняющей волновод (для вакуума или воздуха ).

В пределе высоких частот выражение (1.51) принимает вид

.

Для стандартных волноводов с отношением сторон минимальное затухание получается на длине волны , не попадающей в область одноволновости (см. рис. 1.4). Однако в рабочем диапазоне увеличение потерь незначительно по сравнению с минимальным уровнем.

При анализе частотной зависимости постоянной затухания прямоугольного волновода следует учитывать, что при переходе от одного диапазона частот к другому изменяются стандартные размеры поперечного сечения волновода. Именно, для стандартных волноводов остаются постоянными отношения и (для средней частоты рабочего диапазона). Поэтому в (1.52) и с учётом того, что , .

Например, для стандартного волновода из меди ( 5,7∙10⁷ См/м) сечением 10×23 мм² на длине волны = 3 см ( = 10 ГГц) = 0,1 дБ/м. С уменьшением длины волны (увеличением частоты) в 10 раз размеры сечения также уменьшаются в 10 раз и затухание увеличивается в 10^3/2 раз, т.е. становится равным примерно 3 дБ/м. Из-за большого затухания прямоугольные волноводы практически не используются в диапазоне миллиметровых длин волн.