Волны типа Н и Е в прямоугольном волноводе

В качестве линий передачи диапазона СВЧ наиболее распространены полые металлические волноводы в виде трубки прямоугольного сечения. Прямоугольный волновод вместе с используемой системой координат показан на рис. 1.3. Размер широкой стенки волновода принято обозначать , а узкой - .

Рис. 1.3.

Волна типа Н (ТЕ-волна) в прямоугольном волноводе имеет продольную составляющую магнитного поля , тогда как электрическое поле поперечно ( ). Для нахождения необходимо решить уравнение Гельмгольца

с учётом соответствующих граничных условий. Для волновода с идеально проводящими стенками граничное условие заключается в равенстве нулю тангенциальных составляющих электрического вектора на стенках волновода (см. [2], п 5.4). Из геометрии задачи (рис. 1.3) следует, что для широких стенок волновода ( ) тангенциальной является составляющая поля , а для узких ( ) − . Формулы связи (1.7) позволяют записать граничные условия через искомую функцию :

Краевая задача, в которой на границе области обращается в нуль не сама искомая функция, а её производная, называется задачей Неймана. Решается такая задача стандартным методом разделения переменных. Будем искать в виде (1.3), где имеет вид произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной из поперечных координат:

.

Подставляя (1.15) в (1.13), имеем

,

где двумя штрихами обозначена вторая производная функции. Деля обе части (1.16) на , получаем уравнение

,

где в левой части стоит сумма независимых друг от друга функций, зависящих от и соответственно. Поэтому (1.17) разбивается на два уравнения

,

где - неизвестные числа, причём

.

Уравнения (1.18) – это хорошо известные дифференциальные уравнения гармонических колебаний, имеющие следующие решения:

В итоге общее решение уравнения Гельмгольца (1.13) имеет вид

Постоянные находятся из граничных условий. Условия (1.14) при выполняются, если . Обозначая , общее решение (1.21) запишем как

.

Из граничных условий при следует, что

,

где - положительные целые числа, одновременно не равные нулю. Тогда согласно (1.19) поперечное волновое число будет определяться соотношением

.

Таким образом, данная волноводная задача имеет решение только при определённых значениях параметра , которые определяются соотношением (1.24). Эти значения называются собственными значениями, они образуют дискретную последовательность возрастающих положительных чисел , каждое из которых соответствует паре чисел . Каждому из собственных значений соответствует функция вида (1.22), называемая собственной функцией, которая описывает распределение составляющей в волноводе. Распределение прочих (поперечных) составляющих легко получить по формулам связи (1.7).

Аналогично может быть решена задача о волнах типа Е (ТМ-волнах) в прямоугольном металлическом волноводе. Решается уравнение Гельмгольца для продольной составляющей электрического вектора :

Искомая функция для каждой из стенок волновода является тангенциальной составляющей, для которой граничные условия имеют вид:

.

Граничные условия для составляющих с помощью формул связи (1.7) сводятся к виду:

Условие (1.27) автоматически обеспечивается выполнением условия (1.26). Краевая задача, в которой искомая функция на границе области обращается в нуль, называется краевой задачей Дирихле. Так же, как и задача Неймана, она может быть решена методом разделения переменных. Его применение с учётом граничных условий (1.26) приводит к решению вида

.

где собственные значения по-прежнему определяются выражением (1.24). Однако для ТМ-волн числа и даже по отдельности не могут равняться нулю.

Итак, в случае прямоугольного волновода при заданных поперечных размерах и длине волны генератора в волноводе может существовать дискретный набор собственных (нормальных) мод типов Е и Н, каждая из которых характеризуется двумя числовыми индексами . Из формул (1.22), (1.28) видно, что распределение полей мод прямоугольного волновода в поперечном сечении соответствует стоячей волне. Индексы и при этом показывают, сколько полуволн стоячей волны укладывается вдоль широкой и узкой стенок волновода соответственно.

В общем случае поле может быть представлено в виде разложения по собственным волнам волновода (в виде суперпозиции собственных волн, имеющих разные амплитуды). При этом каждая собственная мода распространяется в волноводе независимо от других.

Заметим, что переносить энергию по волноводу способны только распространяющиеся моды, для которых , а постоянная распространения вещественна. Моды с достаточно большими индексами, когда , а величина становится чисто мнимой, являются затухающими модами и энергию не переносят. Заметим, что это затухание не связано с потерями энергии в стенках волновода и заполняющем волновод диэлектрике (т.е. с превращением энергии электромагнитного поля волны во внутреннюю энергию). Потерями электромагнитной энергии пренебрегают в рамках рассматриваемой здесь задачи о волноводе с идеально проводящими стенками и заполненном идеальным диэлектриком. При попытке направить в такой волновод волну с , происходит не поглощение, а полное отражение энергии волны. В самом волноводе существует затухающее электромагнитное колебание с реактивными компонентами полей, не переносящее энергии.

Таким образом, колебания с заданными индексами могут существовать лишь в определенных диапазонах длин волн, ограниченных сверху критической длиной волны . Это показано на диаграмме существования волн в прямоугольном волноводе, приведённой на рис. 1.4.

Рис. 1.4.

Как видно из рис. 1.4, в некотором диапазоне длин волн ( ) в волноводе может распространяться лишь одна волна, она называется волной основного типа. Остальные собственные волны называются волнами высших типов. В прямоугольном волноводе волной основного типа является мода , для которой . Эта длина называется критической длиной волны основного типа в волноводе или критической длиной волны волновода. В большинстве технических устройств размеры волновода выбираются таким образом, что в нём может распространяться только одна волна основного типа.

1.5. Волна типа . в прямоугольном волноводе

Структура поля волны типа

Рассмотрим подробнее распространение моды , являющейся, как было отмечено выше, модой основного типа для прямоугольного металлического волновода. Полагая в (1.24) , и вычисляя по (1.7) поперечные составляющие полей, получаем следующие выражения для всех составляющих электрического и магнитного полей рассматриваемой моды:

На рис. 1.5 показана картина силовых линий напряжённостей электрического и магнитного поля волны типа Н₁₀ в прямоугольном волноводе, построенная по (1.29), а на рис. 1.6 приведены графики, показывающие изменения амплитуд составляющих волны в поперечном направлении и изменение мгновенных значений составляющих полей в продольном направлении.

Рис. 1.5.

Рис. 1.6.

Мощность, переносимая по волноводу волной типа

Обсудим вопрос о переносе энергии по волноводу волной типа . Но сначала перепишем формулы (1.29) для полей моды , введя обозначение − максимального значения амплитуды поперечной составляющей магнитного поля:

Здесь введена величина , имеющая смысл импеданса, т.е. отношения амплитуд поперечных составляющих электрического и магнитного полей . В нашем случае импеданс даётся выражением

,

где - импеданс однородной плоской волны в безграничной среде, а .

Вектор Пойнтинга моды

имеет поперечную ( -ю) и продольную ( -ю) составляющие. Составляющие , порождающие поперечную составляющую, реактивны, т.к. имеют сдвиг по фазе, равный . Поэтому интенсивность (усреднённый по периоду вектор Пойнтинга) в поперечном направлении равна нулю, что подтверждает и прямой расчёт:

.

В то же время поперечные составляющие полей активны, поскольку колеблются в одинаковых фазах, и интенсивность вдоль оси отлична от нуля:

.

Интенсивность максимальна в середине волновода и убывает по мере приближения к узким стенкам.

Для определения полной мощности , переносимой через поперечное сечение волновода, нужно проинтегрировать (1.34) по площади поперечного сечения :

или

,

где − максимальная амплитуда электрического поля в волноводе.

Токи на стенках волновода, излучающие и неизлучающие щели

В случае идеально проводящих стенок электромагнитное поле волн, распространяющихся в волноводе, возбуждает поверхностные токи на стенках, причём каждому типу волны соответствует определённая структура этих токов. Как известно, плотность поверхностных токов связана с магнитным полем в волноводе соотношением:

,

где - внутренняя нормаль к поверхности стенки, - касательная к стенке составляющая магнитного поля ([2], пп. 1.3, 5.4). Мгновенное распределение плотности поверхностных токов по стенкам прямоугольного волновода с модой показано на рис. 1.7. Ток растекается, например, из центральной области нижней широкой стенки, и, поднимаясь по узким стенкам, стекается к центральной области верхней широкой стенки. Через половину длины волны направления линий тока меняются на обратные. Из сопоставления рис. 1.7 и 1.5 видно, что точки расхождения и схождения линий тока располагаются там, где в данный момент электрическое поле обращается в нуль. Это связано с тем, что линии поверхностного тока замыкаются внутри волновода линиями токов смещения . Токи смещения достигают экстремальных значений в точках экстремума производной , т.е. там, где поле равно нулю.

Рис. 1.7.

Пусть в узкой стенке волновода прорезаны две щели, т.е. отверстия, длина которых значительно больше ширины (рис. 1.8). Горизонтальная щель пересекает под углом 90^О большое количество линий поверхностного тока, что приводит к наведению на верхней и нижней кромках разреза зарядов противоположного знака, которые изменяются во времени с частотой генератора. Таким образом, такая щель будет обладать переменным дипольным моментом и, как будет показано в гл. 2, будет вести себя как излучатель электромагнитных волн. Из вертикальной щели, пересекающей небольшое количество линий поверхностного тока, излучение будет незначительным. Излучающие щели широко применяются при создании так называемых щелевых волноводных антенн диапазона СВЧ.

Рис. 1.8.