Понятие измерения величин

Сравнивая величины непосредственно, мы можем установить их равенство или неравенство. Чтобы получить более точный результат, например, узнать, на сколько площадь одной фигуры больше площади другой фигуры, необходимо величины измерить.

Измерить величину объекта – значит сравнить ее с однородной величиной некоторого объекта, мера величины которого принята за единицу величины е.

Для различных величин процесс сравнения различен, он зависит от рода рассматриваемых величин – для длин он один, для площадей – другой. Но, не зависимо от процесса, в результате измерения величины а, при выбранной единице е, находят такое действительное число х, что а = х ∙ е. Число х называют численным значениемвеличины а при единице величины е. Записывают х = m_е (а).

Согласно определению, любую величину можно представить в виде произведения некоторого числа (численного значения величины) и единицы этой величины. Например, 7 м² = 7 ∙ 1 м².

Используя свойство умножения величины на число, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой.

дм = ∙ 1 дм = ∙ 10 см = ( ∙ 10) см = 6 см.

Величины, которые определяются одним численным значение, называются скалярнымивеличинами.Основные неотрицательные скалярные величины: длина, масса, время.

Скаляр (от лат.) – ступенчатый; скалярная величина – величина, каждое значение которой (в отличие от векторов) может быть выражено одним действительным числом, вследствие чего совокупность значений скалярной величины можно изобразить на линейной шкале (скале – отсюда название).

Кроме скалярных величин, в математике рассматриваю векторные величины, для определения которых необходимо указывать не только их численное значение, но и направление. Векторными величинами являются сила, ускорение, упругость, вес и др.

Известно, что не каждое свойство объектов мы умеем измерять. Примерами могут служить понятия психологии, педагогики – воля, смелость. Такие понятия также являются величинами, но в отличие от изучаемых нами называют латентными (латентность (от лат.) – скрытый). Сравнение таких величин возможно лишь на интуитивной основе.

В нашем курсе мы будем рассматривать только положительные скалярные величины.

Измерение величин позволяет свести сравнение их к сравнению чисел, операции над величинами к соответствующим операциям над числами.

1. Если величины а и b измерены при помощи единицы величины e, то отношения между величинами a и b будут такими же, как и отношения между их численными значениями, и наоборот:

a = b m_е (a) = m_е (b),

a > b m_е (a) > m_е (b),

a < b m_е (a) < m_е (b).

Например, если площадь двух фигур 5 см² и 7 см², то можно утверждать, что площадь первой фигуры меньше площади второй, т.к. 5 < 7.

2. Если величины а и b измерены при помощи единицы величины e, то, чтобы найти численное значение суммы a + b достаточно сложить численные значения величин а и b:

а + b = c m_е (a + b) = m_е (a) + m_е (b).

Например, если длины отрезков а и b таковы, что а = 9 см, b = 11 см, то а + b = (9 + 11) см = 20 см.

3. Если величины а и b таковы, что b = x ∙ а, где x – положительное действительное число, и величина а измерена при помощи единицы величины e, то чтобы найти численное значение величины b при единице e, достаточно число x умножить на число m_е (а):

b = x ∙ a m_е (b) = x ∙ m_е (a).

Например, если объем b в 5 раза больше объема а, т. е. b = 5а, а = 3 м³, то b = 5а = 5 ∙ (3 м³) = (5 ∙ 3) м³ = 15 м³.

Фиксированный объект, мера величины которой принята за единицу, называют эталоном величины.

Точность эталонов отражает уровень развития науки, техники и промышленность.