Введення поняття функції

Пропедевтика вивчення поняття функції

У початковій школі та у 5-6 класах

Функціональна пропедевтика починається у початковій школі при розгляді залежності зміни суми при зміні доданків, залежність зміни добутку від зміни множників, залежність зміни частки від зміни діленого і дільника.

У 5 класі в темі «Додавання і віднімання натуральних чисел» учні ознайомлюються з величинами, залежностями між величинами, прямою та оберненою пропорційностями. А також із складанням та обчисленням числових виразів, буквені вирази та їх числові значення, складання таблиць значень виразів.

У 6 класі у темі "Числа і дії над ними " вивчають графічні ілюстрації відсоткового відношення. У темі "Відношення і пропорції" вводиться поняття прямої і оберненої пропорційної залежності. У цьому ж класі учні знайомляться з прямокутною системою координат, координатами точки, абсцисами, з координатними площинами з координатним чвертями.

Основна мета функціональної пропедевтики в молодших класах полягає у формуванні в учнів поняття змінної величини та залежності між цими величинами.

Введення поняття функції

Поняття функції формуються в учнів при:

– запровадженні функціональної пропедевтики;

– елементарному дослідженню окремих функцій;

– дослідженні функцій за допомогою похідної.

У 7–9 класах передбачено систематизоване вивчення функцій їх властивостей та графіків.

З’ясування поняття функції здійснюється на основі розгляду знайомих учням прикладів фізичних та геометричних залежностей, причому звертається увага на способи задання цих залежностей – формулою, таблицею, графіком. Зауважимо, що у 8 класі способи задання функцій не виділяються як окремий пункт для спеціального вивчення. Пояснюється тільки, що задати функцію – це значить вказати спосіб, який дозволяє для будь-якого значення аргументу знайти відповідне значення функції.

Вводити поняття функції доцільно процесі розв’язування задач. Наприклад:

1. Купують олівці ціною по 30 копійок за штуку. Записати залежність між кількістю олівців х та їх загальною вартістю у.

2. Записати залежність між довжиною ребра куба х і його об’ємом у.

3. Автомобіль рухається рівномірно на прямолінійній ділянці довжиною 1300 метрів. Записати залежність між швидкістю автомобілях υ м/с і часом t с, затраченим на проходження цієї ділянки.

Розв’язуючи ці задачі, учні дістають різні функціональні залежності: у=30х; у=х³; .

Учитель підкреслює, що за формулами, які дістали, для кожного значення х можна знайти відповідне значення у, після чого учні виконують обчислення для кількох значень х.

Наголошується, що х і у – змінні, вводяться поняття незалежної і залежної змінних. Головне – домогтися усвідомлення учнями того, що про функцію можна говорити лише тоді, коли кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної.

Значну увагу треба приділити засвоєною учнями термінології, пов’язаної з поняттям функції: х – незалежна змінна, або аргумент, у – залежна змінна; у є функцією від х; х - значення функції.

Значну увагу слід приділити формуванню уявлень про графік функції. У 6 класі учні вже отримали початкові уявлення про графіки. Приступаючи до вивчення графіків функцій потрібно актуалізувати необхідний мінімум знань про координатну площину.

У результаті вивчення графіків функцій потрібно домагатись, щоб учні вміли пояснити, що таке графік функції, та уміли за допомогою графіків функцій розв’язувати такі два типи задач:

1) для кожного значення аргументу знайти відповідне значення функції;

2) за даними значеннями функцій знаходити значення аргументу, яким воно відповідає.

Уміння читати графіки функцій виробляються в учнів у результаті виконання таких вправ:

Формула → таблиця → графік

Графік → таблиця → формула

3. Методичні особливості вивчення окремих видів функцій основної школи.

Загальна методична схема вивчення окремих видів функцій:

І. Етап мотивації. Розглядаються приклади залежностей, які приводять до певного виду функцій.

ІІ. Формулюється означення функції, що вводиться.

ІІІ. Побудова за точками графіка функції, визначення за ним властивостей функцій. У старших класах окремі властивості доводяться аналітично.

IV. Застосування властивостей вивченої функції до розв’язування рівнянь, нерівностей, задач.

3.1 .Лінійна функція у=kх+b.

Знати:

1) означення лінійної функції;

2) залежність від коефіцієнта k кута нахилу прямої y=kx+b, до осі абсцис;

3) що при одному й тому самому значенню k прямі паралельні;

4) що, коли k>0, то кут нахилу прямої до осі Ох гострий, а якщо k<0 – тупий;

5) що b – ордината точки перетину графіка функції з віссю ординат.

Уміти: за графіком лінійної функції знаходити k і b.

Методичні рекомендації: Лінійна функція одна з видів функцій, що найчастіше зустрічається на практиці. За законом лінійної функції відбувається, наприклад, лінійне розширення тіл при нагріванні, у лінійній залежності від часу перебуває швидкість рівнозмінного руху.

Класичним прикладом застосування функції y=kx+b в економіці є залежність загальних витрат виробництва від обсягу випущеної продукції.

Лінійна функція і її графік описують економічні залежності між величинами, які пов’язані відношенням пропорційності.

У курсі математики старших класів поняття лінійної функції розвивається і розширюється в поєднанні з розв’язуванням рівнянь виду f(x)=kx+b, їх систем, рівняння дотичної до кривої та рядом інших питань.

Перед формальним означенням лінійної функції розглянемо дві практичні задачі. У першій з них встановлюється залежність від початку відліку відстані пройденої тілом при рівномірному русі, від часу руху.

Приклад 1. На шосе розміщені пункти А і В, відстань між якими 20 км. Мотоцикліст виїхав з пункту В у напрямі, протилежному А, з швидкістю 50 км/год. За t год. мотоцикліст проїде 50t км і буде від А на відстані 50t+20 км. Якщо позначити буквою s відстань (у кілометрах) мотоцикліста до пункту А, то залежність відстані від часу руху можна виразити формулою s=50t+20, де t³0.[2]

У другій – залежність вартості покупки від кількості.

Приклад 2. Учень купив зошити по 3 к. за штуку і ручку за 35 к. вартість покупки залежить від числа зошитів. Позначимо число куплених зошитів буквою х, а вартість покупки – буквою у (у копійках). Дістанемо у=3х+35, де х – натуральне число. [2]

Отримавши формули s=50t+20, де t³0 і у=3х+35, де х – натуральне число, учні мають усвідомити, що спільного в них і чим вони відрізняються, а також, що кожна з цих формул задає функцію.

Не слід акцентувати увагу учнів на області визначення кожної з розглянутих функцій, оскільки в задачах на практичну тематику точно вказати область визначення нелегко.

Перевіряючи свідоме засвоєння матеріалу, корисно запропонувати учням пояснити, чи задає формула у=3х+35 функцію: яких значень може набувати х? Чи може у=25?, 73,2?, 80? Якщо так то при яких значеннях х.

Переходячи до узагальнення одержаних результатів у обох задачах, та до означення лінійної функції, вчитель записує формулу y=kx+b.

Щоб закріпити означення лінійної функцій, корисно запропонувати кілька простих вправ виду: Чи є функція задана формулою у=2х-1; у=5-2х; у=6х; у=0х -1, лінійною? Якщо так, то чому дорівнюють k і b?

Графік лінійної функції.

Знати: що графіком лінійної функції є пряма лінія.

Уміти:

a) будувати графік лінійної функції;

b) знаходити значення у, що відповідають даним значення х;

c) за значенням функції знаходити значення х;

d) визначати проміжки, на яких значення функції додатні (від’ємні).

Методичні рекомендації: Графік лінійної функції розглядається на двох уроках.

На першому уроці встановлюється, що графіком лінійної функції є пряма лінія і проводиться перше закріплення вивченого.

На другому уроці розглядається побудова графіка за двома точками та виконуються різні вправи на розкриття та застосування властивостей лінійної функції заданої формулою або графіком. Встановлюється геометричний зміст параметрів k і b у формулі y=kx+b.

Пояснення нового матеріалу можна провести у формі евристичної бесіди з елементами самостійної роботи. Пропонуємо скласти таблицю за відомою функціональною залежністю, а потім відкласти ці точки на координатному промені.

Важливо домогтися розуміння учнями того факту, що коли побудовані точки лежать на прямій то всі точки графіка належать цій прямій.

Можна створити проблемну ситуацію, запропонувати запитання “Чи можна при побудові графіка лінійної функції обійтися без таблиці, яку вони заповнювали?”. Можливо, що учні самі запропонують спосіб побудови графіка лінійної функції за двома точками.

Пропонуємо побудувати графік у=х+2 за двома точками. Після чого дається алгоритм побудови графіка лінійної функції y=kx+b.

1. Вибрати два довільні числа як абсциси точок.

2. Знайти відповідні їм значення функції – ординати точок.

3. Позначити в системі координат обчислені точки та провести через них пряму.

Побудована пряма – шуканий графік лінійної функції.

Подальші вправи присвячені вивченню властивостей лінійної функції, виробленню вміння будувати її графік та користуватися ним, визначати проміжки, на яких значення функції додатні (від’ємні):

3.2.Пряма пропорційність у=kx

Знати: означення прямої пропорційності.

Уміти: встановлювати на основі означення, чи є функція прямою пропорційністю.

Методичні рекомендації: Пряма пропорційність означається як функція, що може бути задана формулою y=kx, де k – число, що не дорівнює нулю.

Якщо функція задана таблицею, описом графіком, то для того щоб відповісти на запитання чи є вона прямою пропорційністю, потрібно встановити, чи можна цю функцію задати формулою у=kx, де k¹0

Візьмемо квадрат і позначимо буквою а його сторони, а буквою Р його периметр. З початкових класів учні знають, що Р=4а. Отже, для обчислення Р треба знати величину а. У таких випадках кажуть, що Р залежить від а. Між величинами а і Р існує залежність. У цій залежності є одна чудова властивість, а саме: відношення залишається сталим.

Іншими словами, які б квадрати ми не брали, їх периметри пропорційні довжинам сторін з коефіцієнтом пропорційності 4. Так само довжини кіл пропорційні їх радіусам. І коефіцієнт пропорційності дорівнює 2p.

Можна розглянути такі задачі:

1. Вартість товару у пропорційна його кількості, якщо за Р прийняти ціну одиниці товару, то вартість х одиниць товару становитиме: у=рх.

2. Ціну простої телеграми обчислимо за таким правилом: 56 коп. за кожне слово. Складіть формули для обчислення вартості телеграми. Побудуйте графік залежності у=0,56х.

Сформулюємо загальне означення: Залежність між величинами називають прямою пропорційністю, якщо відношення цих величин є сталим, число якому дорівнює відношення цих величин, називають коефіцієнтом пропорційності. Позначимо величини буквами х і у. Тоді прямо пропорційна залежність між ними запишеться або y=kx. Вкажіть, що величина у прямо пропорційна величині х з коефіцієнтом пропорційності k.

Графік прямої пропорційності

Знання й уміння:

Знати: що графіком y=kx, де k¹0 є пряма лінія, яка проходить через початок координат та вміти будувати цей графік.

Уміти: знаходити за графіком y=kx, де k¹0:

а) за значенням змінної х відповідна значення у;

б) за значенням у, те значення х, якому воно відповідає;

в) сукупність значень х, при яких значення функції додатні, від’ємні.

3.3. Обернена пропорційність

Знати: означення оберненої пропорційності.

Уміти: встановлювати на основі означення, чи є функція оберненою пропорційністю.

Методичні рекомендації: Вивчення оберненої пропорційності проводиться за таким самим правилом, як і вивчення прямої пропорційності. Спочатку дається означення оберненої пропорційності, а потім розглядаються її властивості і графік.

Припустимо, що вам доручили вирізати із цупкого паперу декілька прямокутників, але з однією умовою; щоб площа всіх прямокутників була одна і та ж, наприклад 4 см²

Позначимо буквами х і у довжини суміжних сторін прямокутника. Тоді нашу умову можна записати формулою ху=4(см²). Про такі величини кажуть, що вони обернено пропорційні, а число 4 називають коефіцієнтом оберненої пропорційності.

Залежність між величинами називають оберненою пропорційністю, якщо добуток цих величин є сталим числом, якому дорівнює цей добуток, називають коефіцієнтом оберненої пропорційності.

Обернена пропорційність між величинами х і у виражається формулою ху=k або . Читають величина у обернено пропорційна величині х з коефіцієнтом k.

Обернена пропорційність означається як функція, яку можна задавати формулою , де k – число, де k¹0. для того, щоб відповісти на запитання, чи є деяка функція оберненою пропорційністю потрібно встановити, чи можна її задати формулою , де k¹0. якщо функція задана таблицею, то для цього досить показати, що для всіх пар значень змінних х і у добуток ху дорівнює одному й тому самому числу, відмінному від нуля.

Графік оберненої пропорційності.

Знати: який вигляд має графік функції, що задана формулою , де k¹0. Уміти будувати графік за точками.

Уміти за допомогою графіка знаходити:

а) за значенням х відповідні значення у;

б) за значенням у те значення х, якому воно відповідає.

Методичні рекомендації: Пояснення матеріалу починається з побудови графіка функції, заданої формулою . Спочатку складаємо таблицю:

Причому беруть певні додатні значення х і протилежні їм від’ємні. На координатній площині будують точки (бажано побудову виконувати на міліметровому папері).

Перед тим, як будувати криву, проводимо з учнями коротке дослідження. Спочатку з’ясовуємо, що графік не перетинає осі координат. Графіку не належать точка з абсцисою нуль і точка з ординатою нуль.

Після цього розглядаємо, як виглядає частина кривої, якій належать точки з додатними абсцисами. Ординати їх також додатні. Причому чим більше додатне значення х, тим менше відповідає йому значення у звідси випливає, що чим більша додатна абсциса точки графіка, тим ближче ця точка розміщена до осі абсцис. Чим менше додатне значення х, тим більше значення у, що відповідає йому.

Потім встановлюємо, що кожній точці графіка з від’ємними координатами симетрична їй відносно початку координат.

Після такого дослідження будується у зошитах крива. Зауважимо, що вітки кривої не повинні обмежуватися точками (1;6) і (6;1), а мають бути трохи продовжені.

Важливо підкреслити учням, що побудовані дві вітки становлять одну криву. Вчитель повідомляє, що її називають – гіперболою.

Після чого встановлюється вигляд графіка функції заданої формулою , де k < 0 і розглянути малюнок. Графіком кожної функції , де k < 0 є гіпербола симетрична відносно початку координат. Коли k > 0 вітки такої гіперболи розміщені у І і ІІІ координатних кутах, коли k < 0 – у II і IV.

3.4.Функція у=х².

Знати: означення функції.

Уміти:

1. будувати графік функції у=х²;

2. знаходити за графіком значення у, які відповідають даному значенню х, і навпаки;

3. з’ясовувати, чи належить дана точка координатної площини графіку функції, що задана формулою.

Методичні рекомендації: вивчення квадратичної функції проводиться в два етапи. У 8 класі розглядають окремий вид цієї функції у=х², а у 9 класі вивчається функція y=ax²+bx+c, її властивості та графік.

У 8 класі докладно розглядається побудова графіка функції у=х². перед побудовою організовуємо з учнями невеликі дослідження, яке розкриває деякі особливості графіка (його розміщення у верхній півплощині, симетричність відносно ординат, належність графіку точки (0;0).

Почати вивчення функції у=х² з побудови графіка за допомогою таблиці, а потім перейти до узагальнення. Побудуємо графік функціональної залежності у=х², за координатами його точок. Учитель пропонує учням заповнити таблицю для цілочислених значень аргументу. Для зручності виконання побудови в зошитах беремо значення від –3 до 3. утворені точки учні сполучають плавною лінією. Учитель пояснює, що криву такого виду називають параболою, і показує точне зображення параболи у=х² (на таблиці, плакаті, кодопозитиві).

1. Як розміщений графік відносно осі Ох?

2. Скільки точок графіка розміщено на осі х; у?

3. Чому графік розміщений над віссю Ох?

Очікувана відповідь: тому, що при будь-якому значення аргументу х функція у не може мати від’ємного значення.

4. Як розміщені відносно координатних осей точки графіка, абсциси яких дорівнюють відповідно х₁=-3, х₂=3?

Учні роблять висновок, що ці точки симетричні відносно осі Оу.

Можна запитати в учнів, при яких значеннях аргументу функція у=х² спадає, при яких зростає. Яких значенню може набувати аргумент х, тобто яка область визначення цієї функції.

Обов’язковими є такі знання про властивості графіка функції у=х²:

- весь графік функції у=х² розміщений у верхній координатній півплощині;

- тільки одна його точка лежить на осі Ох;

- графік симетричний відносно осі Оу;

кожна вітка параболи – графіка функції у=х² – нескінчена.

Щодо властивостей функції у=х², то учні повинні знати, що областю її визначення є всі числа від -¥ до +¥. У проміжку (-¥;0) функція спадає, а в проміжку (0;+¥) – зростає. [16]

Для зручності виконання побудов використовують шаблони графіків. Для креслення графіків у зошитах шаблони роблять у масштабі 1 см=1од. Виготовляють їх із цупкого паперу або картону, наклеюючи на нього міліметровий папір. Для викреслювання графіків на дошці виготовляють шаблон у масштабі 1 дм=1од. На шаблоні обов’язково повинна бути показана вісь симетрії. Використання шаблонів застереже учнів від неправильних побудов – викреслювання частини параболи при вершині 0 у вигляді вістря, відсутності плавних переходів при сполучені точок тощо. Для прискорення побудови графіків бажано мати спеціальну дошку з координатною сіткою.

3.5.Функція

Знання і вміння: уміти будувати і читати графік функції .

Уміти: розв’язувати рівняння і нерівності виду .

Методичні рекомендації: Побудові за точками графіка функції передує деяке аналітичне дослідження цієї функції. Показується, що графік функції розміщений у І координатній чверті, і що початок координат належить графіку.

Розглядаючи таблицю, в якій розміщені значення аргументу та відповідні їм значення функції, учні приходять до висновку, що функція є зростаючою.

Нехай довжина сторони квадрата дорівнює а см, а його площа S см². кожному значенню сторони квадрата а відповідає єдине значення його площі S. залежність площі квадрата від його сторони записується формулою S=a², де а³0.

Але, для кожного значення площі квадрата S можна вказати відповідне йому єдине значення сторони а. Залежність сторони квадрата від його площі виражається формулою: . Якщо незалежну змінну S позначити буквою х, а залежну змінну буквою у, то ми дістанемо формулу . Це нова функція яка володіє певними властивостями.

Графік функції

Переходячи до побудови графіка функції , треба пригадати з учнями означення арифметичного квадратного кореня з числа х. Це не від’ємне число, квадрат якого дорівнює х. Отже, формулою задається функція, визначена при всіх не від’ємних значеннях змінної х. Визначається розміщення графіка функції на координатній площині. Побудову здійснюють за допомогою таблиці.

Побудувавши графік функції , порівняємо його з графіком функції у=х², де х³0.

В обох випадках цими графіками є частина параболи. Графік розміщений відносно осі х так само, як графік функції у=х², де х³0 відносно осі у.

Зобразивши обидва графіки на одному малюнку, наочно показуємо учням, що вони симетричні відносно прямої у=х (бісектриси першого координатного кута).

За допомогою графіка учні переконуються також, що більшому числу відповідає більше значення квадратного кореня.