Равновеликие и равносоставленные фигуры

Понятие о площади фигуры имеет любой человек: мы говорим о площади комнаты, площади земельного участка, о площади поверхности, которую надо покрасить, и т. д. При этом мы понимаем, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что у большего участка площадь больше; что площадь квартиры слагается из площади комнат и площади других её помещений.

Это обыденное представление о площади, мы понятие площади будем рассматривать применительно к многоугольникам и ограниченным плоским фигурам.

Будем говорить, что фигура F составлена из фигур F₁ и F₂ или разбита на фигуры F₁ и F₂, если фигура F является объединением фигур F₁ и F₂ и у них нет общих внутренних точек.

Площадью фигуры называется положительная скалярная величина, определенная для каждой плоской фигуры так, что:

1. равные фигуры имеют равные площади;

2. если фигура состоит из нескольких частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.

Условимся площадь фигуры F обозначать S(F).

Площадь характеризуется теми же свойствами, что и длина, но заданы они на разных множествах: длина – на множестве отрезков, а площадь на множестве плоских фигур.

Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Такой единицей площади является обычно квадрат со стороной е, площадь которого е². Измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью единичного квадрата е². Результатом измерения площади фигуры будет такое число х, что S (F) = х ∙ е². Число х называют численным значением площади при выбранной единице площади.

В геометрии доказано, что для многоугольников и ограниченных плоских фигур такое число всегда существует и оно единственно.

Свойства численных значений площади

1. Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей.

F₁ = F₂ S (F₁) = S (F₂)

Фигуры называются равными, если при наложении совпадают.

Фигуры, у которых площади равны, называются равновеликими.

2. Если фигура F составлена из фигур F₁, F₂, …F_n, то численное значение площади фигуры F равно сумме численных значений площадей фигур F₁, F₂, …F_n (при одной и той же единице площади). Две фигуры, составленные из равных частей, называются равносоставленные.

3. При замене единицы площади численное значение площади увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

Выразим, например, 9 см² в квадратных дециметрах. Известно, что
1 см² = 0,01дм², и, следовательно, 9 см² = 9 ∙ 1 см² = 9 ∙ (0,01дм²) = (9 ∙ 0,01)дм² =
= 0,09 дм².

4. Если фигура F₁ является частью фигуры F₂, то численное значение площади фигуры F₁ не больше численного значения площади фигуры F₂ .

F₁ F₂ S (F₁) ≤ S (F₂).

Для измерения площадей используют стандартные единицы площади: м², дм², см², мм². Соотношения между единицами площади:

10^-6 км² = 10^{-4 га = 10-2} а = 1м² = 10²дм² = 10⁴ см² = 10⁶ мм².

Способы измерения площадей

1. С помощью палетки. ­­

Пусть F – криволинейная фигура. P⊂ F ⊂Q S(P) ≤ S(F) ≤ S(Q) (*).

Если разность площадей фигур Q и P стремится к нулю, то существует единственное число S(F), удовлетворяющее неравенству (*), его и считают площадью фигуры.

Воспользуемся этим положением для обоснования приема измерения площади фигуры с помощью палетки.

Палетка – прозрачная пластина, на которую нанесена сеть квадратов. Сторона квадрата принимается за единицу, и чем меньше эта сторона, тем точнее можно измерить площадь фигуры.

Накладываем палетку на данную фигуру F. Квадраты, целиком лежащие внутри фигуры F, образуют многоугольник P, квадраты, имеющие с фигурой F общие точки, фигуру Q.

S(P) и S(Q)находят подсчетом квадратов.

Пусть S(P) = m, S(Q) = m + n.

Тогда m ≤ S (F) ≤ m + n, S (F) , тогда

S (F) , т.е. S (F) = m + .

Итак, приближенное значение площади фигуры F равно сумме числа квадратов, целиком лежащих внутри фигуры F и половине числа квадратов, через которые проходит контур этой фигуры.

Чтобы получить более точный результат необходимо:

1) использовать палетку с более мелкими квадратами;

2) наложить палетку на фигуру по-разному и найти среднее арифметическое приближенных значений площади фигуры F.

2. Косвенный способ нахождения площади, посредством измерения длин сторон, высот и других отрезков и нахождения площади с помощью формул.

Прямоугольник

Площадь прямоугольника равна произведению длин соседних сторон.

S (F) = а ∙ b

1) Пусть длины сторон а и b выражаются натуральными числами. Прямоугольник F можно разбить на единичные квадраты Е. Всего их а ∙ b, так как имеем b рядов, в каждом из которых а квадратов.

S (F) = S (Е) + S (Е) + … + S (Е) = а ∙ b ∙ S (Е) = а ∙ b.

а ∙ b слагаемых

2) Пусть длина хотя бы одной из сторон не выражается натуральным числом, но численные значения всех сторон являются рациональными числами, которые могут быть выражены конечными десятичными дробями.

Пусть длины сторон прямоугольника выражаются десятичными дробями
и . Прямоугольник F разбивается на а ∙ b квадратов со стороной , а единичный квадрат Е на 10²ⁿ таких квадратов. Следовательно, площадь каждого квадрата со стороной равна , а площадь всего прямоугольника равна , т.е. произведению чисел и .

3) Хотя бы одна из сторон измеряется числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью.

Если длины сторон прямоугольника выражаются действительными числами
а_n ≤ а < а_n', b_n ≤ b < b_n',

где а_n, b_n – приближенные значения длин сторон по недостатку,

а_n', b_n' – приближенные значения длин сторон по избытку,

то численное значение площади прямоугольника выражается произведением

а_n b_n ≤ а b < а_n' b_n'.

Таким образом, S (F) = а ∙ b, где F – прямоугольник.

Выведем формулы для площадей некоторых других фигур, причем будем применять один и тот же метод: покажем, что рассматриваемая фигура равносоставлена с фигурой, площадь которой мы уже умеем вычислять.

Две фигуры, состоящие из равных частей, называются равносоставленными. Равносоставленные фигуры всегда равновелики, равновеликие фигуры всегда равносоставлены.

Параллелограмм

Площадь параллелограмма равна произведению длины любой его стороны на длину высоты, проведенной к этой стороне.

Всякий параллелограмм равносоставлен с прямоугольником, одна из сторон которого равна одной из сторон параллелограмма, а другая – его высоте.

АВСD и АВ₁С₁D равносоставлены, т.к. АВС₁D – общая, АВ₁В = DС₁С (по гипотенузе и катету):

В₁ = С₁ = 90º, АВ = DС, АВ₁ = DС₁.

S_АВСD = S_{АВ С D} = АD ∙ АВ₁ = а ∙ h_а.

Треугольник

Площадь треугольника равна половине произведения длины любой его стороны на длину высоты, проведенной к этой стороне.

1 способ. Треугольник АВС равносоставлен с параллелограммом АКМС, высота которого к стороне АС равна половине высоты треугольника к стороне АС, т.к. АКLС – общая, КВL = МСL: КLВ = МLС, КВL = МСL, ВL = LС. Следовательно, S_АВС = S_АКМС = АС ∙ h_а = а h_а.

2 способ.

АВDС составлен из равных треугольников АВС и ВDС, следовательно

S_АВС = S_АВDС = а h_а.

Ромб

Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей.

1 способ. Ромб равносоставлен с прямоугольником, одна из сторон которого равна одной из диагоналей ромба, а другая – половине его второй диагонали. Ромб АВСD равносоставлен с прямоугольником DBKL, т.к. DBС – общий, DАО = DLС, АОB = BKС (по трем сторонам).

S_АВСD = S_ВDLK = ВD ∙ АС; S = d₁ d₂.

2 способ. Т.к. АBО = СОВ = СОD = АОD (по двум катетам), то
S_АВСD = 4 ∙ S_АВО = 4 ∙ ∙ d₁∙ d₂ = d₁ d₂.

Трапеция

Площадь трапеции равна произведению длины её средней линии на длину высоты или произведению полусуммы длин оснований на длину высоты трапеции.

Трапеция равносоставлена с параллелограммом, одна из сторон которого равна средней линии трапеции, а высота, проведенная к этой стороне, равна высоте трапеции.

1 способ. Трапеция АВСD равносоставлена с параллелограммом АВKL, т.к.
АВСEL общая, СEК = DEL (по стороне и двум прилежащим углам). Следовательно S_АВСD = S_АВKL = ∙h. Таким образом, площадь трапеции равна произведению длины её средней линии на длину высоты или произведению полусуммы длин оснований на длину высоты трапеции.

2 способ.

S_АВСD = S_АВЕ + S_ВСFЕ + S_СDF =

= mh + bh + nh = h (m + 2b + n) =

= h (а + b) = ∙ h.