Визначники 2–го порядку.

ВИЗНАЧНИКИ. МАТРИЦІ.

СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАІЧНИХ РІВНЯНЬ.

Конспект лекцій

Визначники 2–го порядку.

Розглянемо 4 числа .

Визначником (або детермінантом) 2–го порядку назвемо число, яке записується у вигляді

і яке дорівнює . Тобто

. (1.1)

Наприклад:

;

;

.

Як бачимо, визначник записується у вигляді таблички, яка складається з 2–х рядків та 2–х стовпців. Діагональ називається головною, а діагональ – побічною. Отже визначник 2–го порядку дорівнює добутку елементів головної діагоналі мінус добуток елементів побічної діагоналі.

Сформулюємо основні властивості визначника:

1. Якщо визначник транспонувати, тобто рядки замінити стовпцями, а стовпці рядками, то визначник не зміниться:

.

Цю властивість коротше можна сформулювати так: визначник не змінюється при транспонуванні. Це дуже важлива властивість – вона показує, що рядки і стовпці визначника цілком рівноправні, тобто всі властивості, що стосуються рядків, стосуються також стовпців і навпаки. Тому у подальшому ми будемо обмежуватись терміном «рядок», а розуміти будемо при цьому також і стовпець.

2. Якщо у визначнику змінити місцями рядки, то буде отримано визначник, який дорівнює даному, взятому з протилежним знаком:

.

3. Якщо елементи будь якого рядка визначника помножити на одне й те ж число, то визначник помножиться на це число:

.

З цієї властивості випливає, що спільний множник елементів рядка чи стовпця можна виносити за знак визначника. Наприклад:

.

4. Якщо у визначнику є нульовий рядок (тобто всі елементи рядка дорівнюють нулю), то визначник дорівнює нулю:

.

Наступна властивість особливо важлива.

5. Якщо до елементів якого-небудь рядка визначника додати відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне й те ж число, то визначник не зміниться.

Дійсно, розглянемо визначник, який отримано з визначника (3.1.1) шляхом додавання до елементів 2-го рядка відповідних елементів 1–го рядка, помножених на число :

.

Наслідки.

5а) Якщо елементи будь якого рядка визначника пропорційні відповідним елементам іншого рядка. То визначник дорівнює нулю.

Дійсно, розглянемо визначник

.

Цю рівність можна також довести використанням властивостей 4, 5, додавши до елементів 2–го рядка відповідні елементи 1–го, помножені на .

.

5б) Якщо у визначнику є два однакових рядки, то визначник дорівнює нулю.

.

Властивість 5б) можна отримати з властивості 5а) при .