Матриці та дії над ними.

У багатьох сферах людської діяльності (виробництві, науці та ін.) доводиться мати справу з таблицями чисел. Це можуть бути бухгалтерські відомості, сучасні студентські та викладацькі індивідуальні плани, експериментальні дані тощо. Над цими таблицями потрібно проводити певні дії – підставляти дані з однієї таблиці до іншої, зводити дані з декількох таблиць до одної і багато інших. Всі ці обставини примусили математиків побудувати абстрактну теорію таких таблиць (або, як їх назвали, матриць). Вперше матриця, як математичне поняття виникло в працях англійських математиків У.Гамільтона (1805–1865), А.Келі (1821–1895), Дж. Сильвестра (1814–1897) у середині XIX століття. Основи теорії матриць створено німецькими математиками К.Вейєрштрассом (1815–1897) і Г.Фробеніусом (1849–1917) у кінці XIX, початку XX століття. Результати і методи цієї теорії з’явилися дуже ефективними як для задач самої математики, так і для її застосувань. Ми познайомимось з деякими початковими поняттями теорії матриць.

Матрицею розмірності називається прямокутна таблиця чисел, яка містить рядків та стовпців:

.

Кожен елемент матриці записується у вигляді , де – номер рядка, у якому стоїть елемент ( ), а – номер стовпця ( ).

Добутком матриці на число називається матриця , кожен елемент якої дорівнює добутку відповідного елемента матриці на число :

.

Розглянемо матрицю тієї ж розмірності:

.

Матриці і називаються рівними, (пишемо ), якщо , тобто відповідні елементи цих матриць співпадають.

Сумою матриць і називається матриця , кожен елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць і :

.

Додавати можна матриці лише однакових розмірностей.

Різницю матриць і можна тепер визначити так:

.

Описані дії над матрицями називаються лінійними. Вони підпорядковуються наступним властивостям:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

Перейдемо тепер до більш складних дій над матрицями. Нехай задана матриця розмірності і матриця розмірності :

, .

Звернемо увагу на те, що число стовпців матриці співпадає з числом рядків матриці (воно дорівнює ).

Добутком матриці на матрицю називається матриця розмірності , елемент якої дорівнює сумі добутків елементів –го рядка матриці на елементи –го стовпця матриці , тобто:

. (5.1)

Сформулюємо основні властивості добутку матриць:

1) ,

2) ,

3) на відміну від множення чисел, множення матриць некомутативно, тобто у загальному випадку:

.

Приклади.

1. Знайти , якщо

.

Знайдемо:

,

.

2. Знайти , якщо

.

Матрицю дійсно можна помножити на матрицю , оскільки число стовпців матриці співпадає з числом рядків матриці , воно дорівнює 3.

1). Множимо кожен елемент 1–го рядка матриці на відповідний елемент 1–го стовпця матриці і результати додаємо:

.

2). Множимо кожен елемент 1–го рядка матриці на відповідний елемент 2–го стовпця матриці і результати додаємо:

.

3). Аналогічно використовуємо тепер 3–й та 4–й стовпці матриці :

, .

Таким чином перший рядок матриці має вид:

.

Другий рядок отримаємо, якщо повторимо пункти 1), 2), 3), замінивши лише 1–й рядок матриці на її 2–й рядок:

,

,

,

.

Отже:

.

3. Обчислити:

.

Маємо:

.

4. Матриця, яка містить тільки один рядок, називається матрицею–рядком, а матриця, яка містить тільки один стовпець, називається матрицею–стовпцем.

Задано:

.

Знайти .

Маємо:

.

Вийшла матриця, яка містить тільки 1 рядок і 1 стовпець, тобто фактично уявляє собою одне число. А тепер знайдемо:

.

Нехай задано матрицю розмірності :

Такі матриці називаються квадратними порядку .

Визначник –го порядку

називається визначником матриці і позначається .

Поняття визначника матриці вводиться лише для квадратних матриць.

Сформулюємо деякі властивості визначника матриці.

1. .

2. .

3. Визначник суми двох матриць дорівнює сумі всіх можливих визначників порядку , які можуть одержатись, якщо частину рядків (стовпчиків) брати співпадаючими з відповідними рядками одної матриці, а решту рядків (стовпців) – співпадаючими з відповідними рядками іншої матриці.

Наприклад, для матриць 2–го порядку будемо мати:

.

.

Під матрицею ( – натуральне число) розуміється матриця .

5. Обчислити

.

Маємо:

,

.

6. Знайти

, де .

Маємо:

,

.

Припустимо по індукції, що

(5.2) і розглянемо:

, і формулу (5.2) методом індукції доведено.

7. Знайти

.

Маємо:

.

Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулеві, називається нульовою матрицею, або нуль–матрицею. Позначається вона буквою . Очевидні рівності:

для будь якої матриці (тут ми маємо на увазі, що дії додавання та множення матриць можливі). Таким чином нуль–матриця у діях над матрицями відіграє ту ж саму роль, що звичайне число 0 в діях над числами. Разом з цим, як показує приклад 7, є й суттєва відмінність: добуток двох ненульових чисел не може дорівнювати нулеві. А добуток ненульових матриць може дорівнювати нуль–матриці. Зауважимо тут же, що якщо у прикладі 7 множники переставити місцями, то отримається вже інший результат:

.

Некомутативність множення матриць породжує також інші відмінності законів дій над матрицями від відповідних законів дій над числами. Наприклад відома для чисел формула квадрата суми:

у загальному випадку не справджується для матриць. Дійсно, розглянемо:

, і оскільки , ми не можемо записати, що .