Розв’язування матричних рівнянь.

В елементарній алгебрі одним з найпростіших рівнянь є лінійне рівняння:

, (5.1) де і – відомі числа. Якщо , то це рівняння має єдиний розв’язок (корінь):

.

Якщо , то наявність і кількість розв’язків залежатиме від числа . У випадку коли , будь яке число задовольняє рівнянню (3.8.1), і таким чином воно має безліч коренів. У випадку, коли , жодне число не задовольняє рівнянню, і тоді воно не має коренів.

Аналоги рівняння (3.8.1) є і у теорії матриць. Розглянемо рівняння

, (3.8.2) де – відомі квадратні матриці –го порядку, а – невідома квадратна матриця того ж порядку. Припустимо, що (це буде відповідати умові для рівняння (3.8.1)). Тоді існує матриця . Домножимо обидві частини рівняння (3.8.2) зліва на . Дістанемо:

.

Або:

.

Тобто

(3.8.3)

Формула (3.8.3) дає єдиний розв’язок рівняння (3.8.2).

Розглянемо дещо інше рівняння:

. (3.8.4)

Зрозуміло, що це дійсно інше рівняння, оскільки, як ми пам’ятаємо, . Знову обидві частини цього рівняння домножимо на , але цього разу справа:

.

Або:

.

Тобто:

(3.8.5)

Формула (3.8.5) дає єдиний розв’язок рівняння (3.8.4).

У випадку, коли рівняння (3.8.2), (3.8.4) можуть мати або безліч розв’язків, або не мати їх зовсім.

Приклад. Розв’язати матричне рівняння:

, де

.

Обчислимо:

.

Отже обернена до матриці існує, причому . Знайдемо:

(перевірте самостійно).

Згідно з формулою (3.8.3) матимемо:

.