Розв’язання систем методом Гауса.

Цей метод був запропонований видатним німецьким математиком Карлом Фрідріхом Гаусом (1777 – 1855). Проілюструємо його на прикладі системи 4-го порядку, причому будемо припускати, що визначник цієї системи відмінний від нуля. Отже розглянемо систему 4-х рівнянь з 4-ма невідомими:

(7.1)

Випишемо коефіцієнти цієї системи у вигляді наступної таблиці:

(7.2)

До цієї таблиці можна застосовувати наступні перетворення:

1) перестановка місцями будь яких двох її рядків;

2) перестановка місцями будь яких двох її стовпців, крім стовпця ;

3) множення всіх елементів якого-небудь рядка на одне й те ж число;

4) додавання до елементів одного з рядків відповідних елементів іншого рядка, помножених на одне й те ж число.

Легко перевірити, що внаслідок таких перетворень кожного разу отримуватимуться таблиці, що відповідають системам, рівносильним системі (7.1). Наприклад перше з цих перетворень еквівалентно перестановці місцями 2-х рівнянь системи, друге з них – перестановці місцями в усіх рівняннях системи яких-небудь двох доданків, що відповідають одним і тим же невідомим.

Ідея методу Гауса полягає у тому, щоб за допомогою перетворень 1) – 4) звести таблицю (7.2) до так званого трикутного вигляду:

(7.3)

При цьому числа відмінні від нуля, а – ті ж самі невідомі , але, взагалі кажучи, взяті у іншому порядку (за рахунок можливої перестановки стовпців). Система, яка відповідає такій таблиці, має вид:

(7.4)

* Лаплас П’єр Сімон (1749–1827) – видатний французький математик, фізик, астроном та філософ.