Розв’язків.

Системою лінійних алгебраічних рівнянь з невідомими називається задача визначення значень невідомих з рівнянь вигляду:

(3.9.1)

Числа називаються коефіцієнтами системи, а числа – вільними членами, або правими частинами системи (3.9.1).

Якщо всі , то система (3.9.1) називається однорідною, у протилежному випадку – неоднорідною.

З коефіцієнтів системи (3.9.1) складемо матрицю розмірності :

.

Крім того введемо матриці стовпці:

.

Тоді систему (3.9.1) можна записати в матричній формі:

. (3.9.2)

Цей запис значно компактніший, ніж (3.9.1).

Нашою задачею буде встановити умови, при яких система (3.9.1) або (3.9.2) має розв’язки і вказати спосіб знаходження цих розв’язків.

Почнемо з часткового випадку системи (3.9.1), а саме, припустимо, що , тобто кількість рівнянь системи співпадає з кількістю невідомих і дорівнює трьом:

(3.9.3)

Тоді матриця буде квадратною розмірності :

.

Визначник матриці назвемо визначником системи (3.9.3).

Теорема.Якщо , то система (3.9.3) має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулою:

. (3.9.4)

Доведення.Для доведення цієї теореми достатньообидві частини рівняння (3.9.2) зліва помножити на матрицю , яка існує внаслідок умови теореми.

Ця теорема дає матричний спосіб розв’язання системи (3.9.3). Звернемо увагу на те, що нею можна користуватися тільки у випадку «квадратних» систем з відмінним від нуля визначником.

Приклад. За допомогою оберненої матриці розв’язати систему:

Випишемо матрицю коефіцієнтів даної системи:

.

Визначник цієї матриці .

Знайдемо:

(перевірте самостійно).

Випишемо:

.

Згідно з формулою (3.9.4) дістанемо:

.

Отже: .

Якщо у матричній формі (3.9.2) перейти до форми запису через компоненти матриць, то можна отримати формули для розв’язку системи безпосередньо через коефіцієнти системи.

Теорема.Якщо в системі (3.9.3) , то система (3.9.3) має єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами:

, (3.9.5) де – визначник, який отримано з визначника шляхом заміни в ньому –го стовпця на стовпець , тобто на стовпець правих частин системи (3.9.3).

Доведення.Розпишемо детальніше матричну формулу (3.9.2):

.

Вираз є не що інше, як визначник

, який розкладено за 1–м стовпцем. Легко побачити, що він отримується з визначника шляхом заміни в ньому 1–го стовпця на стовпець . Позначимо цей визначник через . Аналогічно, вираз є визначник, який отримано з визначника заміною в ньому 2–го стовпця на стовпець . Позначимо його через . І нарешті вираз є визначник, який отримано з визначника заміною в ньому –го стовпця на стовпець . Позначимо його через .

Таким чином справедливість формул (3.9.5) встановлено. Ці формули носять назву формул Крамера за ім’ям швейцарського математика Г.Крамера (1704–1752), який встановив ці формули у 1750 р.

Для системи 2–го порядку

формули Крамера мають вид:

, (3.9.6) де

.

Для системи 3–го порядку:

формули Крамера мають вид:

, (3.9.7) де

.

Приклад 1. Розв’язати за формулами Крамера систему:

.

Знайдемо визначник системи:

.

Далі знаходимо:

.

Отже, згідно з формулами (3.9.6):

.

Приклад 2. Розв’язати за формулами Крамера систему:

Знайдемо:

.

Тут з 3–го рядка відняли 2–й, і в отриманому визначнику до 3–го стовпця додали 2–й.

Далі знайдемо:

(перевірте самостійно).

Згідно з формулами (3.9.7) маємо:

Як бачимо, формули Крамера потребують досить великого обсягу обчислювальної роботи. Особливо це проявляється при розв’язанні систем високих порядків. Відомо, що розв’язання системи рівнянь з невідомими за формулами Крамера потребує порядку арифметичних дій. Тому в практичних розрахунках формули Крамера, як правило, не використовуються. Перевага надається іншим, більш економічним методам.

Але в теоретичному відношенні формули Крамера бувають корисними, оскільки дозволяють дослідити залежність розв’язку системи від її коефіцієнтів та правих частин.