Доведення.

Н е о б х і д н і с т ь. Нехай матриця має обернену, тобто існує . Тоді . З іншого боку, на підставі властивостей визначника: . Звідси випливає, що .

Д о с т а т н і с т ь. Доведення достатності буде конструктивним, тобто ми не тільки доведемо існування оберненої матриці, але й побудуємо її. Отже, нехай . Складемо так звану приєднану до матриці матрицю:

.

Тут – алгебраїчне доповнення елемента матриці . Зверніть увагу на те, що розташування алгебраїчних доповнень в приєднаній матриці інше, ніж в розташування елементів в матриці – у кожному рядку матриці стоять алгебраїчні доповнення елементів відповідного стовпця матриці .

Побудуємо матрицю

, тобто кожен елемент приєднаної матриці поділимо на визначник матриці . Покажемо, що це й є обернена матриця. Розглянемо:

, де .

На підставі першої та другої теорем Лапласа маємо:

.

Таким чином:

.

Аналогічно доводимо, що

.

З останніх двох рівностей випливає, що

.

Таким чином, достатність, а разом з нею і всю теорему доведено.

З цієї теореми водночас випливає алгоритм побудови матриці, оберненої для матриці :

1. Знайти і переконатися, що .

2. Для кожного елемента матриці знайти його алгебраїчне доповнення.

3. Побудувати приєднану матрицю.

4. Поділити кожен елемент приєднаної матриці на .

5. Зробити перевірку, тобто переконатися в тому, що добуток побудованої таким чином матриці та матриці (в обох порядках) дорівнює одиничній матриці.

Приклад 1. Знайти , якщо

.

1). Знайдемо

(з 2–го стовпця відняли подвоєний 1–й і далі розклали за 1–м рядком).

2). Обчислимо алгебраїчні доповнення елементів матриці:

,

.

3). Складемо приєднану матрицю:

.

4). Обернену матрицю отримаємо, якщо кожен елемент приєднаної матриці поділимо на 15:

.

5). Перевіримо рівності :

,

.

Приклад 2. Довести, що у матриці

не існує оберненої.

Знайдемо:

=0 (з 3–го рядка відняли 1–й).

Визначник має два співпадаючих рядка, отже він дорівнює нулю (властивість 5б), а з цього випливає, що матриця не має оберненої.