Визначники 3–го порядку.

Розглянемо 9 чисел: .

Визначником 3­–го порядку, складеному з цих чисел, називається число

. (3.2.1)

Кожен елемент визначника має два індекси, перший з яких вказує номер рядка, у якому стоїть елемент, а другий – номер стовпця.Наприклад елемент стоїть у 3–му рядку і 2–му стовпчику. У загальному випадку елемент визначника можна позначити , де – номер рядка, а – номер стовпця цього елемента.

Формулу (3.2.1) , на відміну від формули (3.1.1), запам’ятати складно. Але є просте правило, яке дозволяє швидко написати її. Перший доданок виразу (3.2.1) – добуток елементів головної діагоналі. Для цієї діагоналі є ще дві діагоналі, їй паралельні: та . Другий доданок виразу (3.2.1) – це добуток елементів першої з вказаних діагоналей і елемента , який розташовано в лівому нижньому куті, тобто куті, протилежному цій діагоналі. Третій доданок є добуток елементів другої з цих діагоналей і елемента, розташованого у правому верхньому куті. Всі ці доданки входять до виразу (3.2.1) зі знаком «+». Розглянемо тепер доданки, які входять зі знаком «–». Перший з них – добуток елементів побічної діагоналі . А другий і третій доданки – добутки елементів діагоналей, паралельних побічній на елементи, що знаходяться в протилежних цим діагоналям кутах.

Описане правило добре ілюструється за допомогою наступної діаграми:

Рис. 12

«+» «–»

Описане правило називається правилом трикутників (зрозуміло, чому), або правилом Саррюса. На практиці частіше використовують інший спосіб.

Розглянемо якій-небудь елемент визначника (3.2.1). Мислено викреслимо з нього рядок і стовпець, в яких стоїть цей елемент, тобто рядок з номером і стовпець з номером . Ті елементи, що залишаються, утворюють визначник 2–го порядку, який називається мінором елемента і позначається .

Приклад 1.

Розглянемо визначник:

.

Знайдемо мінор . Для цього викреслимо мислено 2 –й рядок і 3–й стовпець. Отримаємо:

.

Таким чином .

Знайдемо . Викреслимо 3–й рядок та 1–й стовпець. Матимемо:

.

Таким чином .

Величина називається алгебраїчним доповненням (а.д.) елемента визначника. З цього означення випливає, що а.д. елемента співпадає з мінором цього елемента, якщо сума його індексів парна, і співпадає з мінором елемента, взятому з протилежним знаком, якщо сума індексів елемента непарна.

Для визначника з прикладу 1, зокрема, матимемо:

,

,

, .

Використання алгебраїчних доповнень дозволяє ефективно обчислювати визначники на підставі наступної теореми.

Перша теорема Лапласа*Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь якого його рядка, або стовпця на їх алгебраїчні доповнення.

Ця теорема дає 6 формул для обчислення одного й того ж визначника (позначимо його символом ):

,

, (2.2)

Ці формули використовують рядки визначника.

,

, (2.3)

.

Ці формули використовують стовпці визначника.

Щоб переконатися в справедливості цих формул, достатньо розкрити вирази в їх правих частинах і порівняти з виразом (3.2.1). Перевіримо, наприклад, першу з формул (3.2.2):

, тобто отримали вираз (3.2.1).

Приклад. Обчислити визначник

.

Обчислимо визначник, використовуючи першу з формул (3.2.2):

.

А тепер обчислимо той же визначник, використовуючи другу з формул (3.2.3):

.

Ми бачимо, що обчислюючи за будь якою з формул (3.2.2), (3.2.3), ми отримаємо один і той же результат. Але обчислення за другою формулою з’явилися більш економічними, оскільки один з доданків перетворився на нуль.

Висновок.При обчисленні визначника краще обирати той рядок (стовпець), який містить найбільшу кількість нулів.

Друга теорема Лапласа.Сума добутків елементів будь якого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулеві.

Тобто

,

.

В справедливості цих рівностей легко переконатися безпосередньо, розписавши відповідні алгебраїчні доповнення.