Предел последовательности.

Хотелось бы предупредить уважаемого читателя о следующем. Этот параграф содержит некоторые сведения по теории пределов. Часть из них дана с доказательствами, что, несмотря на формат книги(пособие по решению задач), сделано намеренно с двумя целями:

1) познакомить читателя с примерами доказательств в математическом анализе;

2) дать пример возможных рассуждений при решении задач (красиво и полезно!).

Приведем несколько примеров последовательностей ( хорошо, если Вы придумаете для каждой из них одну из возможных формул -го члена):

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

Обратите внимание на разницу в «поведении» этих последовательностей. Что происходит

с их членами по мере удаления от начала? Одни постоянно меняют знак, другие постоянно положительны; одни «разбегаются» до бесконечности, другие скапливаются около одного или нескольких чисел; одни растут по модулю, другие – то большие, то маленькие. Попробуем сформулировать замеченные закономерности в математическом виде.