Бесконечно большая.

В этом разделе речь пойдет о расходящихся последовательностях, тюею не имеющих конечного предела. Из них будет выделен особый класс последовательностей, «сходящихся к бесконечности», т.е. бесконечно больших.

Определение. Последовательность называется бесконечно большой, если

Обозначение: .

Напоминаем одну из интерпретаций понятия конечного предела последовательности:

«число называется пределом последовательности , если для любой, сколь угодно малой, окрестности числа (т.е. интервала вокруг ), найдется номер, начиная с которого весь бесконечный «хвост» последовательности находится в заданной окрестности».

Что же делать, если нужно определить предел «бесконечность»? Разумеется, научиться задавать «окрестности бесконечности»! Но «бесконечность» - это не число. Придется поступить так: окрестностью бесконечности назовем объединение промежутков , где A – какое-либо неотрицательное число. Тогда понятия конечного и бесконечного предела совершенно одинаково определяются! ( Если в определении взять , то неравенство тривиально выполняется.)

Замечание: аналогично можно определить понятия окрестностей «плюс бесконечности» и «минус бесконечности».

, где

, где

Определение. Последовательность сходится к , если

Последовательность сходится к , если

Теорема. Пусть тогда