Доказательство. а) . Пусть задано . Цель – сделать расстояние между членом последовательности и числом 0 меньше путем увеличения номера

а) . Пусть задано . Цель – сделать расстояние между членом последовательности и числом 0 меньше путем увеличения номера. Итак: . Но по определению предела должно быть натуральным. Например, берем или . Найдено - доказан предел, т.к. . Далее мы будем заканчивать доказательство нахождением .

б) . Пусть задано . (*) (**) . Отметим, что равенство (*) выполняется не всегда, а при , да и неравенство (**) можно решать указанным далее способом опять же при положительном знаменателе, т.е. при . Но понятие предела последовательности относится только к ее бесконечному «хвосту», а это означает, что поведение первых членов последовательности (любого их конечного количества) абсолютно ни на что не влияет. И тогда при доказательстве можно рассматривать последовательность только с любого выбранного номера, например,

с 1000-го, а тем более, с 5-го. Можем сразу поставить условие , и искать . Например, в качестве ответа даем .

в) . Пусть задано . .

Заметим, что никто не просил указывать именно наименьший возможный номер ,

так что, например, в предыдущей задаче можно было указать , и это

был бы тоже правильный ответ! Но на всякий случай предостережем читателя от

написания произвольной «большой» величины в качестве , т.к. ее может не хватить.

г) . Пусть задано . .

Рискуя надоесть читателю, еще и еще напоминаем о важности оценок при

проведении подобных доказательств и о большой произвольности этих оценок!

(См. предыдущую цепочку неравенств.)

Рамки произвольности:

1) Оценки проводятся в нужную сторону, т.е. мы помним о цели оценок. Если нужно сделать величину меньше , то можно увеличить эту величину, и уже большую сделать меньше . Тогда и нужная величина «автоматически» станет меньше - по свойству транзитивности неравенств.

2) Оценки проводятся грамотно, мы не выходим за пределы правил преобразования выражений и работы с неравенствами, действующих в математике.

3) Помним: если в дроби с положительными числителем и знаменателем увеличить знаменатель или (и) уменьшить числитель, то дробь уменьшится. Следите за знаками неравенств! (Из двух дробей с равными положительными числителями и положительными знаменателями больше та, у которой меньше знаменатель; из двух дробей с равными положительными знаменателями и положительными числителями больше та, у которой больше числитель.)

4) Оценка может быть и очень грубой, настолько грубой, насколько это не мешает добиться цели. Если грубая оценка не помогла, попробуйте более точную.

5) Помните о том, какие вы используете переменные! (Например, в данном разделе , а это, например, означает, что .)

В рассматриваемом примере г) : при снятии модулей учитывалось ; далее использовались неравенства , , , и знак равенства

в цепочке (см. 3)) поменялся на знак неравенства.

д) . Пусть задано . .

Здесь знаменатель уменьшили, «проигнорировав» положительное слагаемое . А можно еще упростить пример, «проигнорировав» заведомо не меньшее, а при больших номерах и гораздо большее слагаемое , т.е. сделав «ужасающе» грубую оценку! (Проводим ее спокойно, помним о цели наших действий: найти какое-то , удовлетворяющее требованиям.)Тогда цепочка выглядит так:

.

е) . Положение значительно сложнее, чем в предыдущем примере, т.к. «опустить» в знаменателе никак нельзя (от этого бы дробь только уменьшилась, а не увеличилась). Приведем два из возможных решений задачи (здесь можно даже объявлять конкурс на наибольшую коллекцию способов решения):

Пусть задано . 1) .

2) .

Обращаем внимание на различную форму записи ответа в двух способах. Это

Сделано намеренно с целью напомнить оба варианта, хотя можно использовать

любой из них или придумать свой.

ж) . Пусть задано .

Делаем вывод: понятие предела формализует ситуацию, когда ВСЕ члены последовательности «сгущаются» к одному числу (пределу), «группируются» вокруг него. А если таких чисел несколько (много)?

Определение. Число называется предельной точкой последовательности, если

в любой его окрестности находится бесконечно много членов

последовательности.

Приведем меткие названия Л.И.Звавича для предела и предельной точки:

ПРЕДЕЛ – «ЛОВУШКА» для последовательности (магнит: весь хвост

последовательности с некоторого момента около него, в зоне притяжения);

ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА – «КОРМУШКА» (бесконечно много членов

последовательности собралось около нее, но, быть может, не все).

Свойства предела последовательности.

· Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство.

От противного, пусть . Зададим таким

образом, чтобы -окрестности точек и не перекрывались, т.е. .

( Начиная с некоторого

номера, все члены последовательности расположены в - окрестности точки .)

( Начиная с некоторого

номера, все члены последовательности расположены в - окрестности точки .)

-----------------------

, . (Найдется номер, начиная

с которого все члены последовательности расположены одновременно в двух

непересекающихся интервалах.)

Теперь строго: .

Но . Противоречие.

Вывод: двух пределов быть не может.

· Если последовательность сходится, то она ограничена.