Примеры использования теоремы о пределе монотонной последовательности.

1) Пусть . Тогда последовательность

Доказательство.

Исследуем последовательность на монотонность. , т.е. . убывает. Отметим, что ограничена снизу числом 0 (все члены последовательности положительны).

Тогда по теореме о пределе монотонной последовательности сходится. Пусть предел - число . Выпишем равенство, связывающее соседние члены :

(*) .

Если обе части равенства равны при любом и имеют пределы, то и пределы

равны! Действие, которое мы сейчас произведем, называется «переход

к пределу при в равенстве (*)».

Итак, сделаем предельный переход в равенстве (*):

, т.е. . Решаем полученное уравнение

относительно , -

2) Доказать, что последовательность , сходится,

и найти предел.

Решение.

1. Отметим, что все члены последовательности положительны. Тогда можно применить неравенство Коши: , т.е. , ограничена снизу числом .

2. Исследуем на монотонность, оценив разность соседних членов: ; , невозрастающая.

3. По теореме о пределе монотонной последовательности сходится.

4. Пусть . Перейдем к пределу в равенстве .

. Все члены последовательности

положительны (даже не меньше ), следовательно, предел не может быть отрицательным.

Выбираем .

3) Доказать, что последовательность , сходится,

и найти предел.

Решение.

1. Докажем по индукции, что возрастает.

Пусть известно, что . Докажем, что тогда .

Д-во: .

На основании метода математической индукции , возрастает.

2. Докажем по индукции, что ограничена сверху числом .

Пусть известно, что . Докажем, что тогда .

Д-во:

На основании метода математической индукции .

3. По теореме о пределе монотонной последовательности сходится.

Пусть . Перейдем к пределу в равенстве : Все члены последовательности

положительны, следовательно, предел не может быть отрицательным.

Выбираем .

3) Доказать, что

Доказательство.

a. Заметим, что все члены последовательности положительны, т.е. ограничена снизу числом 0.

b. Исследуем на монотонность: при , т.е. . (Начиная с номера последовательность убывает.)

c. По теореме о пределе монотонной последовательности сходится к некоторому числу Т. Найдем Т, перейдя к пределу в равенстве :