Доказательство. Пусть . Найдем число М, которое ограничивает последовательность.

Пусть . Найдем число М, которое ограничивает последовательность.

Зададим произвольное положительное .

. Тогда , т.е.

. Не забудем, что первые (конечное число!) членов

последовательности могут находиться вне указанного интервала.

Вывод: последовательность (все ее члены) ограничена числом

.

· Пусть - сходящаяся последовательность; . Тогда . Пусть - сходящаяся последовательность; . Тогда . Пусть - сходящаяся последовательность; . Тогда . Пусть - сходящаяся последовательность; . Тогда .

Нет ли в строках со строгими неравенствами ошибок? (Не нужно ли в выводах

также написать строгие неравенства?)

· Лемма «о двух милиционерах»:

Пусть последовательности таковы, что Тогда тоже сходится, причем

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Здесь приводим некоторые сведения о пределах последовательности, не входящие в «джентльменский набор» школьной теории пределов:

· Критерий Коши сходимости последовательности:

.

Последовательность сходится тогда и только тогда, когда ее члены неограниченно сближаются, т.е. для любого наперед заданного расстояния можно найти номер, начиная с которого любые два члена последовательности удалены друг от друга менее, чем на это заданное расстояние.

1) Верна ли такая переформулировка: «Последовательность сходится тогда и только тогда, когда чем больше номера, тем ближе друг к другу члены последовательности»?

2) Докажите, что последовательность сходится.

3) Докажите, что последовательность расходится.

· Критерий сходимости последовательности.

Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится любая ее подпоследовательность.

Докажите, что последовательность расходится.

· Верхним пределом последовательности называется наибольший из пределов подпоследовательностей (частичных пределов) данной последовательности.

Нижним пределом последовательности называется наименьший из

пределов подпоследовательностей (частичных пределов) данной

последовательности.

Критерий сходимости последовательности

Последовательность сходится тогда и только тогда, когда ее

верхний предел совпадает с нижним.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1) Верно ли, что если все члены последовательности, начиная, например, с 1000-го номера, больше числа 6, то предел последовательности тоже больше 6?

2) Верно ли, что если последовательность ограничена, то она сходится?

3) Сколько предельных точек может иметь последовательность?

4) Рассмотрите примеры последовательностей, приведенные в начале данного параграфа. Найдите для этих последовательностей пределы и предельные точки (если они существуют!).

5) Как Вы думаете, связаны ли между собой понятия предела и предельной точки? Попробуйте сформулировать ответ аккуратно.

6) Верно ли, что если последовательность сходится, например, к числу 0, то она убывает?

7) Верно ли, что если положительная последовательность сходится к числу 0, то она убывает?

8) Может ли какой-либо член сходящейся последовательности быть равным пределу последовательности?

9) Верно ли, что если последовательность сходится, то последовательность из модулей ее членов тоже сходится?

10) Верно ли, что если последовательность из модулей сходится, то и сама исходная последовательность сходится?

11) Предел некоторой последовательности равен числу . Может ли эта последовательность содержать бесконечно много положительных членов?

12) Докажите, что если то . (Подсказка: воспользуйтесь формулой разности

К-х степеней, точнее, равенством

.)