Примеры вычисления пределов. (продолжение)

н) о)

Решение.

н) . Идея решения остается прежней: выбираем наиболее быстро растущую функцию (с точностью до множителя), в данном случае , и делим на нее числитель и знаменатель дроби. Далее используем доказанный ранее факт:

.

о) . Задание аналогично предыдущему с той лишь разницей, что мы вспомним утверждение: произведение ограниченной на бесконечно малую есть бесконечно малая, а также доказанный ранее факт:

Примеры доказательства пределов.

а) Доказать, что последовательность сходится.

б) Доказать, что

Доказательство.

а) Очевидно, что монотонно возрастает (т.к. ), т.е. разумно воспользоваться теоремой о пределе монотонной последовательности. Нужно еще доказать ограниченность сверху , для чего требуется некоторая изобретательность или опыт решения заданий на суммирование:

Монотонность и ограниченность означают сходимость, что и требовалось доказать.

б) .

1) Если поступать стандартным образом, с использованием теоремы о пределе монотонной последовательности, то придется исследовать последовательность

на монотонность: . Чтобы оценить (сравнить с 1) полученную величину, нужно быть знакомым со 2-м «замечательным» пределом , и знать, что .

Тогда , т.е. начиная с некоторого номера , что означает финальное убывание . Последовательность ограничена снизу числом 0, а, значит, сходится к некоторому пределу . Перейдем к пределу в равенстве :

2) Для читателей, еще не знакомых со 2-м «замечательным» пределом, предлагаем второй способ доказательства, основанный на лемме «о двух милиционерах».

Оценим . . Получаем: . Тогда

Задания для самостоятельного решения.

1. Доказать пределы по определению: а) б) в) г) д) е) ж) з) и) .

2. Пусть . Докажите, что последовательность ограничена.

3. Доказать, что последовательность является бесконечно малой: а) б) в) .

Вычислить пределы: 1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9) ;

10) 11)

12) 13) 14)

15) 16)

17) 18) 19) ;

20) 21)

22)

4. Доказать, что последовательность расходится:

а) б) .

5. Доказать, что последовательность сходится, и найти ее предел: а) б) в) г) ; ; .

Ответы.

Ошибок нет, неравенства для пределов нестрогие. Приведите примеры!

1) Нет.

2) Например, по определению.

3) Рассмотрите отдельно четные и нечетные номера. (две предельные точки)

Найдите, например, две постоянные подпоследовательности с различными значениями.

(опять более одной предельной точки)

1) Больше либо равен.

2) Необязательно. Приведите пример.

3) Сколько угодно.

4) а) Предел (конечного предела нет); предельных точек нет.

б) Предел 0 ; предельная точка 0.

в) Последовательность расходится; предельные точки .

г) Последовательность расходится; предельные точки 0 и 1.

д) Последовательность расходится; предельные точки 1, 2, 3, 4 и 5.

е) Предел (конечного предела нет); предельных точек нет.

ж) Предел 0 ; предельная точка 0.

5) Предел всегда(если он есть) является предельной точкой. Предельная точка является пределом тогда и только тогда, когда она единственна.

6) Необязательно.

7) Необязательно.

8) Да.

9) Да.

10) Необязательно.

11) Нет.

Задания для самостоятельного решения.

4. 1) . 2) 0. 3) . 4) 0. 5) 2. 6) . 7) . 8) . 9) .

10) 0. 11) . 12) . 13) 0. 14) . 15) . 16) .

17) 0. 18) –1. 19) –5. 20) –3. 21) . 22) .

6. а) 0. б) 0. в) 0. г) 0. д) . е) 0.