Логические операции на нечётких множествах - включение и равенство

ТЕОРИЯ НЕЧЁТКИХ МНОЖЕСТВ. НЕЧЁТКАЯ ЛОГИКА

У обычных множеств можно чётко выяснить, принад-лежит ли объект им или нет. Но в ряде случаев, например, в так называемых “гуманистических” системах, чёткую гра-ницу провести нельзя. Аналогично, во многих случаях не-возможно однозначно оценить правильность высказыва-ний. В частности:

1) человеческие суждения по большинству вопросов в силу субъективности нельзя свести к однозначным “да” или “нет”,

2) показания приборов из-за ограниченной точности измерений зачастую не позволяют делать точные суждения о наличии или отсутствии событий и т.д.

Обычно чёткие решения нельзя принять из-за недо-статка информации об объекте либо при наличии проти-воречивой информации. Поэтому нечёткие множества и логические рассуждения используют, как правило, для сложных либо не до конца определённых объектов.

Сложности с машинной идентификацией реальных объектов окружающей среды, например, зрительных обра-зов, обусловлены во многом тем, что теоретическим фунда-ментом применяемых алгоритмов являются чёткие теория множеств и логика. Человек же, благодаря элементам нечёт-кого мышления, как правило, без труда справляется с по-добными задачами.

Само понятие чёткого числа, позволившее выделить математику в отдельную науку и способствовавшее её даль-нейшему развитию, в силу своей ограниченности не позво-ляет исследовать и формализовать нечёткие свойства чело-веческого мышления .

Основной задачей нечётких теорий является формали-зация данного типа мышления с целью последующего его

применения в автоматизированных системах.

Наряду с термином “нечёткие” в литературе встреча-ются также названия “расплывчатые”, “непрерывные”, ”раз-мытые”, ”бесконечнозначные” и другие его разновидности.

Алгебра нечётких множеств является одним из об-общений обычной алгебры множеств на случай контину-ального числа значений характеристической функции, а алгебра нечёткой логики – обобщением 2-значной алгебры (алгебры логики) на случай k = C.

Нечёткие множества. Основные понятия

Определение. Пусть X – произвольное непустое мно-жество. Множество называется нечётким, если каждый его элемент – это пара <μA(x), x>, в которой x Î X, а μA(x) – число из интервала [ 0,1 ] , задающее степень принад-лежности элемента х к . Множество X называется носителем . Функция μA(x) называется функцией принад-лежности.

Замечание. Все чёткие множества можно представить как нечёткие с μA(x)=1 либо 0 на элементах из Х.

Пример. Допустим, группа из 4 преподавателей П₁, П₂, П₃, П₄ оценивает по десятибалльной шкале необходи-мость преподавания в рамках некоторой специальности дисциплин Д₁, Д₂, Д₃, Д₄, Д₅. Их индивидуальные оценки заданы в представленной ниже таблице:

Поскольку по большинству предметов оценки разделились, требуется выразить общее мнение в виде нечеткого мно-жества.

Решение.

Представим средние оценки по каждому предмету следующим образом:

1) просуммируем индивидуальные оценки,

2) полученную сумму разделим на 40 баллов – максимально возможную величину.

В итоге для каждой дисциплины получим среднюю оценку, нормированную в интервале [0,1]. Искомое нечёт-кое множество дисциплин получаем, добавляя к каждой дисциплине данную оценку:

= {<0,75; Д₁>,<0,775; Д₂>,<0,9; Д₃>,<1; Д₄>,<0,525; Д₅>}.

Чёткое включение имеет место только для четвёртой дисциплины. По всем остальным дисциплинам включения нечёткие. Данный пример показывает, каким образом мож-но получить итоговые оценки при наличии расхождений в индивидуальных мнениях.

В общем случае для экспертов-участников группы применяют индивидуальные весовые коэффициенты. Не-смотря на субъективность таких оценок, во многих случаях решения принимаются именно на их основании, поскольку других критериев не существует.

Логические операции на нечётких множествах - включение и равенство

Пусть на множестве-носителе Х заданы произвольные нечёткие множества и .

Определение. Степенью включения множества в множество на элементе х называется величина

max(μA(x), μB(x)) = max( 1-μA(x), μB(x)).

Данная характеристика имеет смысл импликации и показывает, насколько из принадлежности элемента х мно-

жеству следует его принадлежность .

Определение. Степенью включения множества в множество называется величина

ν ( , )=min{max(μA(x), μB(x))}.

xÎX

При ν( , ) ≥ 0,5 множество нечётко включается в . Обозначается как . При ν( , )< 0,5 множество нечётко не включается в . Обозначается как .

Пример 1. Допустим, Х={х₁, х₂, х₃ }; ={<0,7;х₁>; <0,9; х₃>}; = {<0,9;х₁>; <0,7; х₃ >}. Найти степень включения в .

Решение.

ν ( , ) = min { max (0,3; 0,9); max (0,1; 0,7) } = min {0,9; 0,7}=0,7>0,5.

Следовательно, .

Замечание. Элементы носителя Х, не входящие в мно-жества и , можно не рассматривать при определении включения, поскольку они не влияют на величину ν( , ).

Пример 2. Х={х₁, х₂, х₃}; ={<0,7;х₂>; <0,9;х₃>}; = {<0,9; х₁ >; <0,7; х₃>}. Найти степень включения в .

Решение.

( , ) = min {max(1; 0,9); max(0,3; 0); max(0,1; 0,7)} = min{1; 0,3; 0,7} =0,3<0,5. Следовательно, .

Определение. Степенью нечёткого равенства мно-жеств и называется величина μ( , ) = min{ν( , ), ν ( , )}. При μ( , )≥0,5 множества и нечётко равны. Обозначается как ≈ .

При μ( , )< 0,5 множества и нечётко не рав-ны. Обозначается как

Замечание. Если одно из множеств не включается в другое, то неравенство их очевидно . Если и , то имеет место строгое включение нечёткого множества в : .

Пример 3. Рассмотрим множества Х; ; из Приме-ра 1. Найти степень равенства и .

Решение.

Как уже показано, ν( , )=0,7 .Обратное включение: ν( , ) = min {max(0,1;0,7); max(0,3;0,9)} = min{0,7; 0,9} = 0,7. μ ( , ) = min {ν ( , ), ν( , )} = min{0,7; 0,7} =0,7>0,5. Следовательно, ≈ .

Результатом выполнения рассмотренных операций включения и равенства является некоторое число в интер-вале [0,1], которое можно интерпретировать как степень истинности – некоторое логическое значение.

4.3. Предметные операции на нечётких множествах. Формулы нечетких множеств

Введём предметные операции, аналогичные операци-ям с чёткими множествами. Для этого рассмотрим произ-вольные нечёткие множества и на множестве Х, со-стоящие из пар следующего вида: ={<μA(x), x>}; = {<μB(x), x>}.