Формулы, теоремы, законы АНЛ

Введенные понятия степени равносильности, а также эквивалентности нечетких формул позволяют сравнивать их между собой, т.е. сопоставлять паре формул и неко-торое логическое значение в интервале [0,1].

Определение. Алгеброй нечеткой логики (АНЛ) на-зывают множество нечетких логических формул вместе с введенными на них степенью равносильности и эквива-лентностью нечетких формул.

Обозначается эквивалентность нечетких формул ана-логично равенству нечётких множеств знаком “» ”.

Определение. Формулами алгебры нечеткой логики называют все выражения вида » , где , - нечеткие логические формулы.

Как и в четкой логике, теоремами называются форму-лы АНЛ, истинные при любых значениях входящих в них переменных. Законами называются основные, наиболее употребительные теоремы. Рассмотрим их.

1. Законы действий с нечеткими константами

Ø » , Ø » , Ú » , & » , Ú » , & » , &û , Ú » ,

где - любая нечеткая формула.

2. Законы де Моргана:

Ø( & )»Ø ÚØ , Ø( Ú ) »Ø &Ø .

3. Закон двойного отрицания:

Ø(Ø )» .

4. Идемпотентность:

& » , Ú » .

5. Коммутативность сложения и умножения:

Ú » Ú , & » & .

6. Ассоциативность сложения и умножения:

&( & )»( & )& » & & , Ú( Ú )»( Ú )Ú » Ú Ú .

7. Дистрибутивность:

&( Ú )»( & )Ú( & ),

Ú( & )»( Ú )&( Ú ).

8. Законы поглощения:

&( Ú )» , Ú( & )» ,

( Ú )&( & )»( & ), ( Ú )Ú( & )»( Ú ).

9. Законы дополнительности:

&Ø » &Ø , ÚØ » ÚØ , &Ø & » &Ø & , ÚØ Ú » ÚØ Ú ,( &Ø )&( ÚØ ) » &Ø , ( ÚØ )&( &Ø ) » ÚØ .

Для строгого доказательства того факта, что некоторая формула АНЛ общего вида

(` (`aⁿ), (`a<sup>n</sup>),…) » (` (`a<sup>n</sup>), (`aⁿ),…) является теоремой либо законом АНЛ, необходимо дока-

зать, что при любых нечетких логических формулах ` (`aⁿ), (`a<sup>n</sup>),…, входящих в рассматриваемую формулу АНЛ, степень равносильности (` (`a<sup>n</sup>), (`aⁿ),…) и (` (`aⁿ), (`aⁿ),…) будет больше либо равна 0,5.

Для этого можно использовать два способа. Первый заключается в том, что для любых формул` (`aⁿ), (`a<sup>n</sup>),…, на произвольном наборе`aⁿ путем раскрытия нечетких логических операций доказывается строгое ра-венство: (`a<sup>n</sup> )= (`aⁿ ), где и - выражения, стоящие в левой и правой части доказываемого закона. Отсюда по Теореме 1 следует эквивалентность и .

Пример 1. Доказать закон двойного отрицания.

Решение. Рассмотрим произвольную формулу (`х<sup>n</sup> ) и со-ответствующие ей функции =Ø(Ø (`хⁿ )), = (хⁿ ), стоящие в левой и правой частях закона. По определению операции отрицания для любого набора `aⁿ :

(`a<sup>n</sup>)=Ø(Ø (`aⁿ))=1-(1- (`a<sup>n</sup> )) = (`aⁿ)= (`aⁿ).

В силу произвольности формулы (`х<sup>n</sup> ) и набора`aⁿ из доказанного равенства следует закон двойного отрица-ния.

Второй подход заключается в непосредственном дока-зательстве неравенства m( , )> 0,5. По Теореме 1 следует, что для этого достаточно доказать одновременную истин-ность либо ложность обеих функций на каждом наборе`aⁿ .

Пример 2. Доказать истинность первого закона до-полнительности.

Решение. Рассмотрим произвольные формулы (`х<sup>n</sup> ) и (`хⁿ ) и функции, реализующие их. В левой и правой час-

тях закона стоят выражения = &Ø , = &Ø .

По определению нечетких логических операций отрицания и умножения для любого`a<sup>n</sup>: =min( (`aⁿ),1- (`a<sup>n</sup> )). Так как одно из чисел (`aⁿ), 1- (`a<sup>n</sup> ) всегда не превышает значение 0,5, то отсюда следует: (`aⁿ) £ 0,5. Аналогично можно доказать: (`aⁿ) £ 0,5. Поскольку функции одновременно ложны на всех наборах истинности переменных, то по Следствию 2 из Теоремы 1 они нечетко эквивалентны.

Для строгого опровержения утверждения о том, что некоторая формула АНЛ общего вида

(` (`aⁿ), (`a<sup>n</sup>),…) » (` (`a<sup>n</sup>), (`aⁿ),…) является теоремой АНЛ, достаточно привести хотя бы один пример, в котором степень равносильности формул (` (`aⁿ), (`a<sup>n</sup>),…) и (` (`a<sup>n</sup>), (`aⁿ),…) будет меньше 0,5.

Пример 3. Выяснить, будет ли формула АНЛ &Ø » ÚØ являться теоремой АНЛ.

Решение. Рассмотрим в качестве примера нечеткие логические формулы = Ú и = º . На значениях переменных =1, =1 значения формул (1,1)=1, (1,1) = 1, =1&Ø1=0, =1ÚØ1=1. После подстановки в об-щую формулу получим, что m ( , )= 0 <0,5. Следова-тельно, рассмотренная формула АНЛ не будет теоремой АНЛ.