Алгебра нечётких множеств

Определение. Нечёткие множества на некотором мно-жестве Х вместе с введёнными на них операциями образуют алгебру нечётких множеств (АНМ).

Определение.Формулами алгебры нечетких мно-жеств будем называть все выражения вида r , где , - формулы нечетких множеств, r - логическая операция либо её отрицание.

При подстановке конкретных значений в формулу АНМ она получает некоторое значение истинности - число в интервале [0,1]. При значении логической операции ³0,5 формула считается истинной, при <0,5 – ложной.

Определение. Формулы АНМ, истинные для любых входящих в них нечётких множеств на Х, называют тео-ремами АНМ. Основные наиболее употребительные теоре-мы называют законами АНМ.

Формулировки большинства из законов АНМ схожи с законами алгебры чётких множеств, но смысл их сущест-венно изменяется. Рассмотрим их.

1. Отрицание третьего

( ­ )≈ .

2. Идемпотентность

È ≈ ; Ç ≈ .

3. Коммутативность

È ≈ È ; Ç ≈ Ç .

4. Ассоциативность

È( È )≈( È )È ≈ È È ;

Ç ( Ç )≈ ( Ç )Ç ≈ Ç Ç .

5. Дистрибутивность

È ( Ç ) ≈ ( È ) Ç ( È );

Ç ( È ) ≈ ( Ç )È ( Ç ).

6. Законы де Моргана

( È )≈ Ç ;

( Ç )≈ È .