![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Эквивалентность нечётких формулОпределение. Пусть х1, ..., хn - нечеткие переменные. n- мерным нечетким вектором `хnназывается вектор вида (х1, ..., хn). Определение. Нечеткой функцией, реализующей не-четкую логическую формулу Определение. Пусть m ( (a1, ..., an) где & - конъюнкция по всем возможным наборам степеней истинности`an = (a1,...,an) вектора `хn= (x1,...,хn). Мно-жество всех возможных наборов степеней истинности `a n вектора`х n назовем его полной областью определения Сn. В отличие от 2-значной логики мощность точек в Сn не конечна, а континуальна. Это затрудняет анализ формул. Определение. K-разбиением интервала [0,1] назовём набор чисел ( m0, m 1, ..., mk), удовлетворяющий условию: 0 = m0 <m1 <...<mn = 1. Будем обозначать K - разбиения интер-вала [0,1] через Сk. Определение. K - разбиение интервала [ 0, 1 ] назо-вем равномерным, если mi = i / k, i= 0,1, ...,k. Определение. Cеточным k- разбиением полной об-ласти определения Сn называется декартово произведение Сnk k-разбиений множества Сk интервала [0,1]. Обычно при изучении нечётких функций используют равномерные разбиения, поскольку в этом случае можно проще получить аналитические выражения величин и за-программировать соответствующие вычисления . Определение. Если m( Обозначается эквивалентность нечетких формул ана-логично равенству нечётких множеств: Определение. Случай m( Определение. Если m( Определение. Степенью неравносильности формул Нечеткие формулы, также как и четкие, могут быть рассмотрены только на некоторой части своей полной об-ласти определения Сn. Поэтому наряду с обычной равно-сильностью формул рассмотрим её обобщение на случай произвольных множеств наборов степеней истинности пе-ременных. Определение. Рассмотрим некоторое множество М полной области определения Сn. Cтепенью равносильности нечетких логических формул mМ ( где &-конъюнкция по всем возможным наборам степеней истинности `a n = (a1, ..., an), входящих в М. Понятия эквивалентности, неэквивалентности и ин-дифферентности формул на множестве вводятся по анало-гии с полными понятиями. Замечание. Нечеткие формулы Так как 0,5 являетсяпороговым значением, то для упрощения практического определения эквивалентности формул можно использовать следующий критерий, выра-жающий её через истинностные значения формул на кон-кретных наборах. Теорема 1. Формулы Доказательство. 1. Необходимость. Если формулы ( m( `an ÎМ
Это противоречит эквивалентности формул. Случай 0 £ 2.Достаточность. Пусть на всех наборах`an Î М обяза-тельно выполняется одно из условий а) (0 £ б) (0,5 £ Раскрывая определение эквивалентности на каждом наборе, получим: ( m( Отсюда по определению следует эквивалентность формул При анализе функций на отдельных множествах, вхо-дящих в полные области определения переменных Сⁿ, часто возникают ситуации, когда обе функции на всём множестве истинны (либо ложны на всём множестве). В этом случае их эквивалентность можно сразу установить из следствий Тео-ремы 1. Следствие 1. Если функции, реализующие формулы Следствие 2. Если функции, реализующие формулы Анализируя формулу для степени равносильности, можно доказать и более сильные утверждения. Теорема 2. Если функции, реализующие формулы Теорема 3. Если функции, реализующие формулы μ( Также на практике часто встречается случай полной равносильности (неравносильности) формул, когда μ( Критерий полной неравносильности можно предста-вить в следующем виде: Теорема 4. Функции, реализующие формулы Пример 1. Определить степень равносильности и эк-вивалентость нечётких функций, реализующих формулы а) полной области определения С2, б) равномерном сеточном 4-разбиении С2 4, в) на множестве М={( Решение. а) На наборе значений ( 1 , 1 ) б) Набор значений ( 1, 1 ) входит в сеточное 4 - разбиение С2 4, поэтому как и в п. а) формулы не эквивалентны. в) Анализ функций на множестве М проще выполнять в таб-лице, которая приведена ниже. По определению mМ (
Замечание. В случае в) эквивалентность можно было непосредственно получить по Следствию 1 из Теоремы 1, а степень равносильности mМ ( Пример показывает, что одна и та же пара формул может одновременно быть нечётко эквивалентной и неэкви-валентной в зависимости от множества М, на котором рас-сматриваются формулы. Определение. Допустим, нечёткие формулы Обозначим объединение всех решений через S. При решении логических уравнений на полной области опре-деления Сⁿ необходимо рассматривать структуру формул и анализировать основные случаи, при которых возможна эквивалентность формул. Такой способ решения невозмож-но полностью формализовать .
В случае рассмотрения формул на сеточных разбиени-ях все решения уравнения могут быть найдены простым перебором. И в первом и во втором случае в зависимости от сравниваемых формул может оказаться более простым оп-ределение вместо решения S его дополнения M \ S. Пример 2. Определить область эквивалентности не-чётких формул а) полной области определения С2, б) на множестве М={( Решение. а) Разобьём полную область определения С2 = {0≤ 1. М1={0≤ 2. М2={0,5≤ 3. М3={0,5≤ Таким образом, исследование полной области опреде-ления С2показало, что S= М1={0≤ б) Пронумеровав все наборы от 1 до 5, вычислим значения формул на них :
На наборах 1,2 формулы одновременно истинны; на наборах 3,4 S = {( Определение. Если формула Определение. Если формула
|