Логические связки. Нечеткие формулы

Определение. Нечетким называется высказывание , степень истинности которого m( ) можно оценить числомиз интервала [0,1]. Если m ( ) < 0,5, то высказывание ложно, если m ( ) > 0,5; то - истинно. При m ( )=0,5 вы-сказывание называется индифферентным.

Определение. Нечеткой логической константой на-зывается нечеткое высказывание , степень истинности которого постоянна и принимает одно из значений в интер-вале [0,1]. При m( ) < 0,5, константа называется ложью, при m ( ) ³ 0,5 - истиной. Нечеткие константы “ложь” и “истина” также обозначают и .

Определение. Нечеткой логической переменной называется нечеткое высказывание , степень истинности которого может изменяться в интервале [0,1].

Для сокращения выкладок значения истинности вы-сказываний и переменных будем присваивать непосредст-

венно их символам. Например, запись =0,3означает: m( ) =0,3.

На множестве нечетких высказываний вводятся логи-ческие операции, аналогичные элементарным функциям ал-гебры логики.

1. Отрицание нечеткого высказывания : Ø = 1- .

2. Конъюнкция нечетких высказываний и : & = min ( , ).

3. Дизъюнкция: Ú = mах ( , ).

4. Импликация: ® = mах (1 - , ).

5. Эквивалентность: ( º )= min (mах (1 - , ), mах ( , 1 - )).

Старшинство операций принято в порядке 1) - 5).

Пример. Найти степень истинности высказывания = Ú º ® & при = 0,8; = 0,3.

Решение. Порядок выполнения действий определяется старшинством логических операций:

1) & = min (0,8; 0,3) = 0,3.

2) Ú = mах (0,8; 0,3) = 0,8.

3) ® & = mах (1- 0,8; 0,3) = 0,3.

4) = min( max(1-0,8; 0,3), max (1-0,3; 0,8)) = min (0,3; 0,8) = 0,3.

Определение. Нечеткой логической формулой будем называть:

а) любую нечеткую константу или переменную ,

б) любое выражение вида Ø , & , Ú , ® , ( º ), где , - нечеткие логические формулы.

Введя на множестве нечетких высказываний нулевой элемент, имеющий степень истинности 0, и единичный 1, можно показать, что для элементов данного множества с введенными нулевым и единичным элементом, а также отрицанием, умножением и сложением будут выполняться 13 аксиом булевой алгебры. Следовательно, рассмотренная логика также является булевой алгеброй.