Законы дополнительности

È ≈ È ;

Ç ≈ Ç ;

È È ≈ È È ;

Ç Ç ≈ Ç Ç .

8. Свойства разностей

\ ≈ Ç ; Δ ≈ Δ ;

Δ Δ ≈ Δ( Δ )≈( Δ )Δ ;

Δ ≈( \ )È ( \ ).

9. Свойства операции включения

( )≈( ); ( )≈( ) ;

( ( È ))≈(( Ç ) ) ;

( È ) ( È )≈( È ) ( È ).

9. Операции с пустым множеством и носителем

È ø ≈ ; Ç ø ≈ ø; È X ≈ X ; Ç X ≈ .

Замечание. Поскольку чёткие множества являются частным случаем нечётких, то все законы АНМ справед-ливы и для алгебры чётких множеств. При этом некоторые из них превращаются в тривиальные равенства, например:

АÈ А = ВÈ В = U.

Доказательство справедливости законов АНМ произ-водится следующим образом. Рассматриваются множества, стоящие в левой и правой частях равенств. Обозначим их М₁ и М₂. Затем на основании определений соответствующих операций на множествах доказывается, что для любых не-четких множеств и , входящих в М₁ и М₂ степень ра-венства μ(М₁,М₂) ≥ 0,5.

Иногда функции включения μМ1(х),μМ2(х) совпадают. В этом случае, подставляя μМ2(х)= μМ1(х), получим:

ν ( , )= ν ( , )=min{max(μМ1(х), μМ1(х)}≥ 0,5,

xÎX

поскольку для двух чисел μМ1(х), μМ1(х) , дающих в сумме 1, есть только две возможности:

1) одно число превышает 0,5 либо

2) оба числа в точности равны 0,5.

Отсюда следует соотношение:

μ( , ) = min{ν( , ), ν ( , )}≥0,5,

т.е. нечеткое равенство М₁ и М₂ по определению.

Пример 1. Доказать справедливость первого закона дополнительности.

Решение. Рассматриваем на некотором общем носителе Х произвольные нечеткие множества и . Обозначим мно-жества в левой и правой части закона через: М₁= È , М₂= È . Для любого элемента хÎХ справедливо: μМ1(х)= max (μA(х),1- μA(х)) ≥0,5 – так как сумма величин в скобках равна 1. Аналогично μМ2(х) = max (μВ(х), 1- μВ(х)) ≥0,5. Отсюда следует, что для степени включения М₁ в М₂ на элементе х справедливо:

max(1-μM1(х),μM2(х))≥0,5.

В силу произвольности х получим: ν(М₁,М₂) ≥0,5. Ана-логично можно показать, что ν(М₂,М₁) ≥0,5. Степень нечёт-кого равенства М₁ и М₂ μ(М₁ , М₂) = min (ν (М₁,М₂), ν(М₂, М₁)) ≥ 0,5. Отсюда получим: М₁ ≈ М₂ , что и следовало дока-зать.

Пример 2. Доказать справедливость первого закона де Моргана.

Решение. Рассматриваем произвольные нечеткие множест-ва и на общем носителе Х. Обозначим множества в ле-вой и правой части закона через: М₁ = ( È ), М₂ = Ç . Пусть х – произвольный элемент носителя Х. Рассматривая все возможные варианты вхождения величин μA(х) и μB(х) в интервалы [0;0,5) и [0,5;1], можно показать, что:

μМ1(х) = 1 - max(μA(х), μB(х)) = min(1-μA(х), 1-μB(х)) = μМ2(х).

Строго доказать данное равенство проще всего пере-бором возможных случаев:

1) μA(х) > μB(х) Þ μМ1(х) = 1 - μA(х) = μМ2(х).

2) μA(х) £ μB(х) Þ μМ1(х) = 1 - μB(х) = μМ2(х).

Как показано выше, в этом случае также

μ(М₁ , М₂) = min (ν (М₁,М₂), ν(М₂, М₁)) ≥ 0,5,

что и требовалось доказать.