Автоматического регулирования

Устойчивой называется такая система, которая после снятия возмущения или изменения задающего воздействия возвращается в исходное или переходит в новое установившееся состояние.

Проще всего устойчивость оценивается по переходным характеристикам (рис. 2.56).

Рисунок 2.56 – Переходные характеристики системы

1 – апериодический процесс; 2 – монотонный процесс;

3 – колебательный устойчивый процесс; 4 – колебательный

неустойчивый процесс

Нетрудно убедиться, что кривые 1, 2 и 3 характеризуют устойчивый, а кривая 4 – неустойчивый переходный процесс.

Приведем несколько примеров неустойчивых систем. На рис. 2.57 показана характеристика дуги 1 и последовательно включенного с ней резистора 2. Напряжение сети выражается прямой 3 и распределяется между резистором и дугой. Из рисунка видно, что система имеет два положения равновесия А и В. Пусть система находится в положении А и какое-то возмущение приводит к уменьшению тока. При этом напряжения сети не хватит для того, чтобы при данном токе обеспечить падение напряжения на дуге и на резисторе, что приведет к дальнейшему снижению тока до нуля. Теперь допустим, что при работе в точке А возмущение приведет к возмущению тока. При этом часть напряжения будет падать на дуге, еще какая-то часть на резисторе, но возникнет еще и избыток напряжения, который приведет к росту тока. Последний будет расти до тех пор, пока мы не придем в точку B. Из сказанного следует, что точка А является точкой неустойчивого равновесия.

Рисунок 2.57 – Вольтамперная характеристика дуги

Предположим далее, что мы работаем в точке В, пусть в результате возмущения ток уменьшится. Тогда напряжение сети распределится между резистором и дугой. При этом возникнет избыток напряжения, который приведет к увеличению тока, благодаря чему система вернется в точку В.

Если в процессе работы в точке В ток по какой-то причине возрастет, то напряжения сети не хватит для того, чтобы обеспечить падение напряжения на резисторе и на дуге. Ток уменьшится и вернется к значению, соответствующему точке В. Таким образом, точка В является точкой устойчивого равновесия.

Различают три вида устойчивости: устойчивость в малом, устойчивость в большом и устойчивость в целом.

Если существуют такие малые возмущения, которые не могут вывести систему из устойчивого состояния, то система считается устойчивой в малом. Если это возмущение можно определить конкретно, то считают, что система устойчива в большом. Если система устойчива при любых возмущениях, то она устойчива в целом. Система, устойчивая в целом, называется абсолютно устойчивой системой.

Существуют три подхода к определению устойчивости системы. Суть первого подхода заключается в построении ее переходной характеристики (рис. 2.56). Это самый понятный, но вместе с тем самый трудоемкий способ определения устойчивости.

Для реализации нового подхода необходимо решить дифференциальное уравнение, т.е. найти его корни. Устойчивость системы зависит от того, где располагаются эти корни (рис. 2.58).

Если корни уравнения левые (т.е. имеют отрицательную действительную часть), то система устойчива, если они правые (т.е. имеют положительную действительную часть), то система неустойчива. При расположении корней на оси ординат система находится на грани устойчивости. Таким образом, и второй подход достаточно громоздкий, так как для его реализации необходимо также решить дифференциальное уравнение.

Рисунок 2.58 – Расположение корней

дифференциального уравнения

Сущность третьего подхода заключатся в том, что для определения устойчивости необходимо иметь передаточную функцию. При этом характеристическое уравнение получается путем приравнивания к 0 знаменателя передаточной функции системы.

Т.е. если передаточная функция

,

(2.135)

то характеристическое уравнение имеет вид:

Если в характеристическом уравнении имеется хотя бы один минус, то система неустойчива. Однако это условие является необходимым, но недостаточным.

Все известные методы определения устойчивости, не требующие решения дифференциальных уравнений системы, можно разбить на две группы: алгебраические методы и частотные. Характерным примером алгебраических методов является метод Гурвица. Рассмотрим этот метод на конкретном примере. Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

.

(2.137)

Для этой системы составляется определитель Гурвица, который имеет вид:

(2.138)

Таким образом, для системы n-го порядка в левом верхнем углу определителя ставится коэффициент при степени S^n-1. Так как в нашем случае система шестого порядка, то n = 6, а в левом верхнем углу ставится коэффициент при S^n-1 = S^6-1 = S⁵, т.е. а_5. После этого по диагонали записываются все коэффициенты в порядке убывания от а₅ до а₀. Затем осуществляется заполнение столбцов таким образом, что в направлении сверху вниз номера коэффициентов возрастают, а снизу вверх уменьшаются. Все остальные места определителя заполняются нулями. Обратим внимание на две особенности:

1) строчки в определителе чередуются. Если первая содержит нечетные индексы, то вторая четные, третья нечетные и т.д.;

2) по вертикали сверху вниз номера индексов увеличиваются, а слева направо номера индексов понижаются.

Система устойчива, если определитель Гурвица и все его диагональные миноры положительны. В свою очередь диагональные миноры выделены в уравнении 2.138 и имеют вид:

, , ,   и

(2.139)

Частным случаем метода Гурвица является метод Льенара-Шипара, который формулируется следующим образом.

Система устойчива, если положительны либо все четные миноры, либо все нечетные. В рассматриваемом случае система устойчива, если

,

(2.140)

либо

.

(2.141)

Рассмотрим некоторые частные случаи. Уравнение первой степени:

Нетрудно убедиться, что для устойчивости системы с таким уравнением необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты были положительны.

Уравнение второй степени:

Определитель Гурвица для этого случая имеет вид:

.

(2.144)

И в этом случае условие устойчивости сводится к условию положительности коэффициентов.

В свою очередь уравнение третьей степени:

тогда определитель Гурвица:

.

(2.146)

В свою очередь помимо условия положительности коэффициентов это условие сводится к выражению:

,

(2.147)

т.е. система устойчива, если

(2.148)

т.е. если произведение средних членов уравнения (2.145) больше произведения крайних. К частотным методам определения устойчивости относят метод Михайлова и метод Найквиста. Суть метода Михайлова сводится к следующему. В знаменателе передаточной функции P(s) заменяем s на jw. Тогда

(2.149)

Действительная часть этого вектора:

,

(2.150)

а мнимая:

,

(2.151)

Если изменять частоту от до , то конец вектора (2.149) опишет кривую, которая называется годографом Михайлова. Если годограф Михайлова начинается на положительной действительной полуоси и, последовательно против часовой стрелки нигде не обращаясь в нуль, обходит n квадрантов, где n – порядок характеристического уравнения, то система устойчива.

Рисунок 2.59 – Годографы Михайлова для устойчивых систем,