Регулирования и их коррекция

Качество системы характеризует уровень выполнения предъявляемых к этой системе требований. Обычно качество системы оценивается для двух режимов – установившегося и переходного.

Показателем качества в установившемся режиме является функция ошибки , физический смысл которой нетрудно понять с помощью рис. 2.67.

Рисунок 2.67 – Система автоматического регулирования

Как видно из рисунка,

.

(2.155)

Для подсчета этой функции пользуются выражением:

,

(2.156)

где С₀, С₁, ,С₂ – коэффициенты ошибки;

x(t), x'(t), x"(t) – входная величина и ее производные.

В свою очередь

, , ,

(2.157)

где – передаточная функция ошибки.

Качество переходного процесса оценивается по переходной характеристике. Среди показателей качества переходного процесса отметим:

– длительность переходного процесса t_p;

– максимальное динамическое отклонение ;

– декремент затухания Д;

– колебательность М;

– запас устойчивости.

Рисунок 2.68 – Оценка качества переходного процесса

по переходной характеристике

Важнейшей характеристикой переходного процесса является его длительность. При наличии переходной характеристики (рис. 2.68) длительность переходного процесса определяется следующим образом.

1. Задаются требуемой точностью. Обычно для расчетов достаточно оценить установившееся значение выходной величины с точностью до 5%.

2. Определяется установившееся значение выходной величины y_уст.

3. Проводится линия y = y_уст, параллельная оси абсцисс.

4. Параллельно этой линии на расстоянии 0,05 y_уст проводятся две параллельные линии, которые образуют коридор, ограниченный тонкими линиями.

5. Точка А, которая характеризует окончательный заход кривой переходного процесса в пятипроцентную зону, является точкой окончания переходного процесса, ибо дальше с точностью до 5% выходная величина не отличается от y_уст.

Кроме того, по графику (рис. 2.68) можно определить время нарастания переходного процесса t_н, а также максимальное y_max1 и установившееся y_уст значения выходной величины.

Обычно требуемые характеристики переходного процесса определяются технологией. Помимо длительности переходного процесса его важнейшими характеристиками являются:

– максимальное динамическое отклонение:

;

(2.158)

– декремент затухания:

.

(2.159)

Колебательность (или показатель колебательности) определяется по величине относительного максимума амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы (рис. 2.69).

Рисунок 2.69 – Амплитудно-частотная характеристика

замкнутой системы

,

(2.160)

где W_max – максимальное значение АЧХ;

W₀ – значение АЧХ при w = 0.

Для улучшения качества переходного процесса систему управления корректируют. Суть коррекции заключается в том, что в систему включают дополнительное корректирующее звено, которое может включаться последовательно с другими звеньями системы или параллельно какому-то звену, как правило, наихудшему по своим динамическим характеристикам.

Рассмотрим последовательную коррекцию (рис. 2.70).

Рисунок 2.70 – Последовательная коррекция системы

Пусть логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) системы до коррекции L_нск. Если включить последовательно корректирующее звено, ЛАЧХ которого L_к, то общая ЛАЧХ после коррекции будет:

Если мы хотим получить систему с заданными свойствами, т.е. желаемой характеристикой L_ж, то

Поэтому для получения ЛАЧХ корректирующего звена надо знать желаемую ЛАЧХ. Обычно значения ЛАЧХ определяются требованиями к переходному процессу. Методика построения желаемой ЛАЧХ состоит в следующем (рис. 2.71).

ЛАЧХ разбивается на три участка:

– низкочастотный, который определяет точность системы;

– среднечастотный, который определяет устойчивость системы;

– высокочастотный, который мало влияет на динамические свойства.

1) В первую очередь строится среднечастотный участок. Для этого необходимо определить частоту, при которой ЛАЧХ пересекает ось абсцисс. Эта частота называется частотой среза и определяется как

,

(2.163)

где n – величина, зависящая от максимального динамического отклонения (табл. 2.3):

t_р – длительность переходного процесса.

Таблица 2.3–Зависимость величины n от максимального

динамического отклонения

,%
n	1,5	2,4	3,0	3,5	5,2

Через точку А, в которой w = w_ср, проводится прямая под углом –20 дБ/дек.

2) Затем строится низкочастотный участок. Для этого находится значение L_ж = 20 lg К, которое откладывается на характеристике при частоте w = 1. Через эту точку и проводится низкочастотная характеристика, график которой зависит от требований к точности системы.

3) Для статической системы низкочастотный участок должен быть параллелен оси абсцисс, для астатической системы (одно интегрирующее звено) первого порядка он проводится под углом –20дБ/дек, для астатической системы второго порядка под углом –40 дБ/дек и т.д.

4) Т.к. возможен случай, когда низкочастотная часть характеристики имеет наклон –20дБ/дек, т.е. такой же наклон, как и среднечастотная часть, то целесообразно выделить промежуточный участок с наклоном –40дБ/дек.

5) Границы между участками определяются следующими соотношениями:

а) граничная частота низкочастотной области

w₁ = (0,17...0,25)∙w_ср.

б) граничная частота среднечастотной области

w₂ = (2 ¸ 4) w_ср.

в) высокочастотная часть начинается с частоты

w₃ = (6 ¸ 8)∙w_ср.

Рисунок 2.71 – Построение желаемой ЛАЧХ

6) Точка пересечения оси абсцисс, с промежуточным участком:

.

(2.164)

Из этой точки проводится прямая с наклоном –40дБ/дек до пересечения со среднечастотной и низкочастотной частями характеристики.

7)Так как высокочастотная часть характеристики мало влияет на динамику системы, то ее надо выбирать из экономических соображений. С этой точки зрения целесообразно оставить ее такой, чтобы она совпадала с высокочастотной частью нескорректированной системы.

Рассмотрим теперь возможность параллельнойкоррекции.

Пусть имеется система, состоящая из трех звеньев (рис. 2.72) с известными передаточными функциями.

Рисунок 2.72 – Параллельная коррекция системы

Предположим далее, что из указанных звеньев наихудшими динамическими свойствами обладает звено с передаточной функцией Н₂(S). Тогда передаточная функция нескорректированной системы:

Передаточная функция звена с передаточной функцией Н₂(S) после охвата его обратной связью:

.

(2.166)

Если Н₂(S) – большое число, то .

Тогда и передаточная функция скорректированной системы:

.

(2.167)

Отсюда следует, что амплитудно-частотная характеристика скорректированной системы:

.

(2.168)

Переходя к ЛАЧХ, имеем:

т.к. L_cк(w) = L_ж, то

Выражение (2.170) позволяет определить ЛАЧХ корректирующего звена. Чаще всего для параллельной коррекции используют простейшие решения, основанные на применении жесткой и гибкой обратной связи. В качестве жесткой обратной связи используют охват корректирующего звена безинерционным, а в качестве гибкой обратной связи охват дифференцирующим звеном.

Рассмотрим, как изменяются свойства некоторых типовых звеньев при охвате их жесткой обратной связью. Для этого из схемы рис. 2.72 выделим корректируемый Н₂(S) и корректирующий Н_к(S) элементы (рис. 2.73).

Рисунок 2.73 – Улучшение динамических характеристик

звена путем введения обратной связи

Рассмотрим, что дает охват инерционного звена.

Пусть , а H_к(S) = K₂, тогда передаточная функция встречно-параллельного соединения:

(2.171)

где

(2.172)

и

.

(2.173)

Отсюда вытекают следующие выводы:

1. При охвате инерционного звена жесткой обратной связью структура звена не меняется, т.е. оно остается инерционным.

Коэффициент усиления звена уменьшается, а, следовательно, повышается устойчивость системы.

2. Постоянная времени звена уменьшается, что повышает его быстродействие.

Посмотрим теперь, что происходит при охвате жесткой обратной связью колебательного звена.

При этом

,

тогда передаточная функция встречно-параллельного соединения звеньев (колебательного и безынерционного):

(2.174)

где

,	(2.175)
,	(2.176)
.	(2.177)

Из выражений (2.174) – (2.177) следует:

1. Охват колебательного звена жесткой обратной связью также не меняет его структуру (оно остается колебательным звеном).

2. Коэффициент усиления звена уменьшается, а, следовательно, и в этом случае повышается устойчивость.

3. Постоянные времени Т₁₀ и Т₂₀ уменьшаются, а, следовательно, также повышается быстродействие системы.

Рассмотрим еще отношение Т₁₀ /Т₂₀, характеризующее колебательность:

.

(2.178)

Как видим, отношение (2.178) уменьшается, откуда следует, что колебательность увеличилась. Иными словами, повышение устойчивости и быстродействия достигается ценой повышения колебательности.

Значительный интерес представляет охват жесткой обратной связью интегрирующего звена с передаточной функцией:

.

Тогда встречно-параллельное соединение интегрирующего и безынерционного звена дает:

,

(2.179)

где

.

(2.180)

Из формулы (2.179) следует, что охват интегрирующего звена жесткой обратной связью изменяет его структуру (делает его инерционным) и повышает устойчивость системы.

Обсудим теперь особенности охвата звеньев гибкой обратной связью. По-прежнему начнем с инерционного звена при гибкой обратной связи Н_к(S) = К₂S. В этом случае:

(2.181)

где

Из полученного выражения (2.181) можно сделать следующие выводы:

1. При охвате инерционного звена гибкой обратной связью его структура не меняется.

2. Не меняется и коэффициент усиления, а значит, устойчивость системы.

3. Постоянная времени увеличивается, т.е. переходный процесс затягивается.

Отсюда следует, что охват инерционного звена гибкой обратной связью не имеет смысла.

При охвате гибкой обратной связью колебательного звена передаточная функция имеет вид:

.

(2.183)

Из выражения (2.183) следует:

1. Охват колебательного звена гибкой обратной связью не изменяет его структуру, а также его устойчивость.

2. Однако при этом уменьшается колебательность, т.к. растёт отношение

.

(2.184)

3. Снижение колебательности достигается за счёт затягивания переходного процесса (Т₁₀ = Т₁+К₁ К₂).

Ну и, наконец, посмотрим, что произойдёт при охвате гибкой обратной связью интегрирующего звена:

.

(2.185)

Как видим, из (2.185) вытекает:

1.Структура звена при охвате его гибкой обратной связью не изменилась, оно осталось интегрирующим.

2.Уменьшился коэффициент усиления, т.е. повысилась устойчивость системы.

На практике часто возникают задачи, связанные с получением звеньев с заданными свойствами, т.е. с заданной передаточной функцией. В связи с этим рассмотрим частный случай охвата обратной связью безынерционного звена с большим коэффициентом усиления, т.е. К® ¥. Пусть в схеме, представленной на рис. 2.73, Н₂(S) = К, тогда:

.

(2.186)

Т.к. К® ¥, то , поэтому:

.

(2.187)

Отсюда следует, что при большом коэффициенте усиления К передаточная функция такого соединения от К не зависит, а общая передаточная функция равна обратной передаточной функции звена обратной связи.

Все рассмотренные выше методы оценки и улучшения качества систем автоматического управления связаны с оценкой какого-то одного или в лучшем случае нескольких показателей качества. Вместе с тем более полная оценка возможна лишь при комплексном учете всех или хотя бы нескольких показателей. К таким показателям относят интегральные показатели качества переходных процессов. Существуют два вида интегральных оценок: линейные и квадратичные. Если отклонение выходной величины от установившегося значения y_уст, то качество можно оценить по величине:

.

(2.188)

Эта величина оценивается площадью, расположенной между кривой y_уст(t) и осью абсцисс (рис.2.74).

Рисунок 2.74 – Оценка качества переходного процесса по линейному интегральному критерию

Чем меньше эта площадь, тем лучше качество переходного процесса. Однако если этот переходный процесс периодический, то такая оценка необъективна (рис. 2.75) и сложна. При этом площади участков, расположенных ниже оси абсцисс, вычитаются из площадей участков, расположенных выше этой оси, тогда как в действительности и те, и другие участки одинаково влияют на качество.

Рисунок 2.75 – Оценка периодического переходного

процесса по линейному интегральному критерию

Поэтому целесообразно оценивать качество переходных процессов по интегралу вида:

,

(2.189)

который, называют интегральным квадратичным критерием качества. В этом случае кривая интеграла не содержит отрицательных участков и все площади учитываются с одним знаком (рис. 2.76).

Здесь важен ещё и тот факт, что нет необходимости определять коэффициенты точек пересечения y_уст с осью абсцисс.

Рисунок 2.76 – Оценка периодического переходного процесса

по интегральному квадратичному критерию качества

Подробно методы вычисления интегральных квадратичных оценок качества изложены в специальной литературе. Здесь мы отметим возможность применения этих оценок для выбора корректирующих звеньев. В общем случае передаточную функцию корректирующего звена можно описать выражением:

.

(2.190)

Звенья с более сложными передаточными функциями значительных преимуществ не дают. В такой постановке задача выбора корректирующего звена сводится к определению коэффициентов а₃, а₂, а₁ и в₂, в₁ из условий минимума интегральной оценки, т.е. из условия:

.

(2.191)

Совместное решение системы (2.191) позволяет найти оптимальные значения указанных коэффициентов, а значит выбрать корректирующее звено с оптимальной передаточной функцией.