Имеющих различный порядок характеристического уравнения

На рис. 2.59 представлены годографы Михайлова для различных значений порядка уравнения устойчивых систем. Во всех случаях кривая годографа последовательно обходит n квадрантов. Если этот порядок нарушается (рис. 2.60), то система неустойчива. Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости (рис. 2.60г). Отметим, что оба изложенных выше метода – и метод Гурвица, и метод Михайлова – требуют в качестве исходных данных знания передаточной функции замкнутой системы управления.

Рисунок 2.60 – Годографы Михайлова

для неустойчивых систем

Метод Найквиста позволяет определить устойчивость замкнутой системы по АФХ разомкнутой системы. При этом в зависимости от свойств разомкнутой системы различают три случая определения устойчивости.

Для применения этого метода надо, прежде всего, определить, устойчива ли система в разомкнутом состоянии. Если в выражении для передаточной функции разомкнутой системы имеется хотя бы один минус, то система неустойчива.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

.

(2.152)

Из выражения 2.152 видно, что система содержит два неустойчивых звена с постоянными времени Т₂ и Т₄, одно из которых инерционное, а второе форсирующее.

Разомкнутая система с передаточной функцией

(2.153)

содержит одно неустойчивое колебательное звено, а разомкнутая система с передаточной функцией

(2.154)

содержит два интегрирующих звена и поэтому находится на грани устойчивости.

Правило первое. Система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива и в замкнутом состоянии, если АФХ разомкнутой системы не охватывает точку А с координатой [–1, J0].

На рис. 2.61 кривая 1 характеризует устойчивую систему, так как АФХ не охватывает упомянутую точку. Кривая 2 говорит о том, что соответствующая система находится на границе устойчивости, так как кривая проходит через эту точку. Наконец, кривая 3 характеризует неустойчивую систему, т.к. точка А охватывается АФХ этой системы.

Рисунок 2.61 – Определение устойчивости

по методу Найквиста

На рис. 2.62 показан вариант АФХ разомкнутой системы. Определите самостоятельно, устойчива ли система в замкнутом состоянии.

Рисунок 2.62 – Вариант АФХ разомкнутой системы

Отметим, что по АФХ можно определить не только устойчивость системы, но и запас устойчивости. Для этого (рис. 2.63) через точку с координатой [–1, j0] проводится окружность единичного радиуса, которая касается АФХ в одной точке А. Угол между отрицательным направлением оси абсцисс и радиусом ОА представляет собой запас устойчивости по фазе. Если из точки А провести прямую, параллельную оси ординат, то расстояние от точки с координатой [–1, j0] до этой прямой представляет собой запас устойчивости по амплитуде.

Рисунок 2.63 – Определение запаса устойчивости

Правило второе. Система, находящаяся на границе устойчивости в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если дуга окружности бесконечно большого радиуса между АФХ и положительной осью абсцисс не охватывает точку с координатой [–1, j0].

Кривая 1 (рис. 2.64) соответствует АФХ реального интегрирующего звена. Эта кривая вместе с ее пунктирным продолжением не охватывает точку с координатой [–1, j0]. Значит, замкнутая система устойчива. Кривая 2 соответствует АФХ реального интегрирующего звена второго порядка. Эта кривая вместе с ее пунктирным продолжением охватывает точку с координатой [–1, j0]. Значит, замкнутая система неустойчива.

Рисунок 2.64 – Определение устойчивости

по второму правилу

Правило третье. Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, может быть устойчива в замкнутом состоянии, если разница между числом переходов АФХ через действительную ось левее точки с координатой [–1, j0] сверху вниз и снизу вверх равна половине корней с положительной действительной частью.

Соответствующая этому правилу кривая представлена на рис.2.65.

Рисунок 2.65 – Определение устойчивости

по третьему правилу

На рис. 2.65б стрелкой показано изменение вектора комплексной передаточной функции при изменении от 0 до . Число переходов АФХ сверху вниз левее точки [–1, j0] равно 2. Число переходов снизу вверх равно 1. Следовательно, разница между числом переходов сверху вниз и снизу вверх равна 1. Это возможно только в том случае, если число положительных корней передаточной функции разомкнутой системы равно 2, т.е. если, например, передаточная функция имеет вид:

.

Очень часто вместо обычного критерия Найквиста используют логарифмический критерий (рис. 2.66). В этом случае на графике откладывают две характеристики ЛАЧХ и ЛФЧХ. Точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс называется частотой среза. Если логарифмическая фазочастотная характеристика ЛФЧХ разомкнутой системы пересекает линию при частотах больше частоты среза, то система устойчива. Если это пересечение происходит при частоте среза, то система находится на грани устойчивости. Кривые 3 и 4 , которые пересекают линию при частотах, меньших частоты среза, соответствуют неустойчивой системе. Для устойчивой системы логарифмические характеристики позволяют определить запас устойчивости по амплитуде , по фазе . Методика такого определения понятна из рисунка 2.66.

Рисунок 2.66 – Определение устойчивости

по логарифмическому критерию

В ряде случаев по структуре системы можно сразу определить, что система неустойчива.

Структурно-неустойчивой (СНС) называют систему, которая не может быть устойчивой ни при каких значениях определяющих эту систему параметров.

Структурно-неустойчивыми являются системы:

– содержащие два и более интегрирующих звена;

– содержащие два и более неустойчивых инерционных звеньев;

– системы, которые имеют число колебательных звеньев , где n – порядок характеристического уравнения.

Систему можно сделать устойчивой, если охватить одно или несколько таких звеньев местной обратной связью.